خصم الديون قصيرة الأجل

خصم الديون قصيرة الأجل

عندما يقوم الدائن بتقديم الأوراق التجارية، مثل الكمبيالات والسندات الإذنية، إلى البنك للحصول على قيمتها نقدًا قبل ميعاد استحقاقها، فإن البنك يقوم بخصم مبلغ معين نظير دفع قيمة هذه الأوراق قبل ميعادها. تُسمى هذه العملية باسم خصم الديون أو قطعها.

وبناءً على ذلك فإن المقصود بخصم الديون هو سداد الديون قبل ميعاد استحقاقها.

وهناك نوعين من أنواع خصم الديون قصيرة الأجل وهما كما يلي:

1. الخصم التجاري
2. الخصم الصحيح

أولا: الخصم التجاري

الخصم التجاري هو فائدة القيمة الاسمية (جـ)، ويُرمز له بالرمز خ _ت ، ويمكن إيجاد قيمته باستخدام المعادلة التالية:

خ _ت = جـ × ع × ن

حيث أن:

خ _ت = الخصم التجاري

جـ = القيمة الاسمية

ع = معدل الخصم

ن = مدة الخصم أو القطع

ويُرمز إلى القيمة الحالية التجارية بالرمز ح _ت ، ويتم حساب القيمة الحالية التجارية باستخدام المعادلة التالية:

القيمة الحالية التجارية = القيمة الاسمية – الخصم التجاري

أو باستخدام الرموز الرياضية:

ح _ت = جـ – خ _ت

أو:

ح _ت = جـ – جـ × ع × ن

أو:

القيمة الحالية التجارية ح _ت = جـ × (1 – ع × ن)

مثال على الخصم التجاري

قطع تاجر كمبيالة لدى أحد البنوك قيمتها 1000 جنيه في تاريخ 23 إبريل 1990 تستحق الدفع في 27 أغسطس في نفس العام. فإذا كان معدل الخصم 8% سنويًا، فأوجد كل من:

1. الخصم التجاري
2. القيمة الحالية التجارية

الحل

مدة الخصم بالأيام = 7 (إبريل) + 31 (مايو) + 30 (يونيو) + 31 (يوليو) + 27 (أغسطس) = 126 يوم

أولاً: إيجاد الخصم التجاري

من معادلة الخصم التجاري لدينا:

خ _ت = جـ × ع × ن

بالتعويض عن قيم جـ ، ع ، ن ينتج أن:

خ _ت = 1000 × (8÷100) × (126÷360)

خ _ت = 28 جنيه

ثانيًا: إيجاد القيمة الحالية التجارية

من معادلة حساب القيمة الحالية التجارية لدينا:

ح _ت = جـ – خ _ت

بالتعويض عن قيمة جـ ، خ _ت ينتج أن:

ح _ت = 1000 – 28 = 972 جنيه

حل آخر

أولاً: إيجاد القيمة الحالية التجارية من المعادلة التالية:

القيمة الحالية التجارية ح _ت = جـ × (1 – ع × ن)

أو:

القيمة الحالية التجارية ح _ت = 1000 × (1 – (8 ÷ 100) × (126÷360))

أي أن:

القيمة الحالية التجارية ح _ت = 1000 × (1 – 0.028)

القيمة الحالية التجارية ح _ت = 1000 × (0.972) = 972 جنيه

ثانيًا: إيجاد قيمة الخصم التجاري

من المعادلة:

ح _ت = جـ – خ _ت

ومنها يكون:

خ _ت = جـ – ح _ت

بالتعويض عن قيمة جـ و ح _ت ينتج أن

خ _ت = جـ – ح _ت

خ _ت = 1000 – 928 = 72 جنيه

ثانيًا: الخصم الصحيح

الخصم الصحيح هو فائدة القيمة الحالية الصحيحة ح _ص.

ويُلاحظ أنه لو استثمرنا القيمة الحالية الصحيحة طوال مدة الخصم أو القطع (وهي المدة من تاريخ التسوية أو تاريخ تقديم الأوراق التجارية للقطع حتى تاريخ الاستحقاق) وبمعدل خصم متفق عليه فإن جملتها تُصبح مساوية للقيمة الاسمية جـ.

كما يمكن إيجاد القيمة الحالية الصحيحة كما يلي:

الجملة جـ = ح _ص × (1 + ع × ن)

ومنها يكون:

ح _ص = جـ ÷ (1 + ع × ن)

حيث أن:

ح _ص = القيمة الحالية الصحيحة

جـ = القيمة الاسمية

ع = معدل الخصم

ن = مدة الخصم أو القطع

ويُرمز إلى الخصم الصحيح بالرمز خ _ص ، ويتم حساب الخصم الصحيح باستخدام المعادلة التالية:

الخصم الصحيح = القيمة الاسمية – القيمة الحالية الصحيحة

أو بالرموز:

خ _ص = جـ – ح _ص

أي أن:

الخصم الصحيح خ _ص = جـ – ح _ص

بالتعويض عن قيمة ح _ص

الخصم الصحيح خ _ص = جـ – جـ ÷ (1 + ع × ن)

أو:

الخصم الصحيح خ _ص = جـ (1 – 1 ÷ (1 + ع × ن))

أو:

الخصم الصحيح خ _ص = جـ × (ع × ن ) ÷ (1 + ع × ن)

أو بالتعويض عن قيمة جـ × (ع × ن ) :

الخصم الصحيح خ _ص = ح _ص × ع × ن

مثال على الخصم الصحيح

قطع تاجر كمبيالة لدى أحد البنوك قيمتها الاسمية 5000 جنيه في 10 فبراير سنة 1992 تستحق الدفع في 22 مايو من نفس العام. فإذا علمت أن معدل الخصم 6% سنويًا، فأوجد كل من:

1. الخصم الصحيح
2. القيمة الحالية الصحيحة

الحل

مدة الخصم بالأيام = 19 (فبراير) + 31 (مارس) + 30 إبريل + 22 (مايو) = 102 يوم

أولاً: إيجاد الخصم الصحيح

من المعادلة:

الخصم الصحيح خ _ص = جـ × (ع × ن ) ÷ (1 + ع × ن)

بالتعويض عن قيم جـ ، ع ، ن يكون:

الخصم الصحيح خ _ص = 5000 × ((6÷100) × (102÷360)) ÷ (1 + ( 6÷100) × (102÷360))

الخصم الصحيح خ _ص = 5000 × 0.017 ÷ 1.017

أي أن:

الخصم الصحيح خ _ص = 83.579 جنيه

ثانيًا: إيجاد القيمة الحالية الصحيحة

من المعادلة:

خ _ص = جـ – ح _ص

ومنها يكون:

ح _ص = جـ – خ _ص

بالتعويض عن قيمة جـ و خ _ص ينتج أن:

ح _ص = 5000 – 83.879 = 4916.421 جنيه

العلاقة بين الخصم التجاري والخصم الصحيح

حيث أن معادلتي حساب الخصم التجاري والخصم الصحيح هما كما يلي:

خ _ت = جـ × ع × ن

خ _ص = ح _ص × ع × ن

بقسمة المعادلتين (الطرف الأيمن على الأيمن والطرف الأيسر على الأيسر)، ينتج أن:

خ _ت ÷ خ _ص = (جـ × ع × ن) ÷ (ح _ص × ع × ن)

أو:

خ _ت ÷ خ _ص = جـ ÷ ح _ص = القيمة الاسمية ÷ القيمة الحالية الصحيحة

بالتعويض عن قيمة ح _ص = جـ ÷ (1 + ع × ن)

ينتج أن:

خ _ت ÷ خ _ص = جـ ÷ (جـ ÷ (1 + ع × ن))

أو:

خ _ت ÷ خ _ص = 1 + ع × ن

ومن ثم يمكن من هذه المعادلة حساب الخصم التجاري بمعلومية الخصم الصحيح ومعدل الفائدة والمدة، حيث يكون:

خ _ت = خ _ص × (1 + ع × ن)

كما يمكن حساب الخصم الصحيح بمعلومية الخصم التجاري ومعدل الفائدة والمدة، حيث يكون:

خ _ص = خ _ت ÷ (1 + ع × ن)

مثال على العلاقة بين الخصم التجاري والخصم الصحيح

دين يستحق الدفع بعد 60 يوم. فإذا علمت أن الخصم التجاري لهذا الدين قد بلغ 80 جنيه بمعدل خصم 6% سنويًا. فأوجد كل من:

1. الخصم الصحيح
2. القيمة الاسمية لهذا الدين

الحل

أولاً: إيجاد الخصم الصحيح

من المعادلة:

خ _ت = خ _ص × (1 + ع × ن)

ومن هذه المعادلة، يمكن حساب الخصم الصحيح بمعلومية الخصم التجاري والمعدل والمدة كما يلي:

خ _ص = خ _ت ÷ (1 + ع × ن)

بالتعويض عن القيم نحصل على ما يلي:

خ _ص = 80 ÷ (1 + (6÷100) × (60÷360))

خ _ص = 80 ÷ 1.01

أي أن:

خ _ص = 79.208 جنيه

ثانيًا: إيجاد القيمة الاسمية للدين

بما أنه لدينا المعادلة:

خ _ت = جـ × ع × ن

ومنها يكون:

جـ = خ _ت ÷ (ع × ن)

جـ = 80 ÷ ((6÷100) × (60÷360))

أي:

جـ = 80 ÷ 0.01

جـ (القيمة الاسمية للدين) = 8000 جنيه

الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح

خ _ت – خ _ص = فائدة القيمة الاسمية – فائدة القيمة الحالية الصحيحة

خ _ت – خ _ص = جـ × ع × ن – ح _ص × ع × ن

أو:

خ _ت – خ _ص = ع × ن × (جـ – ح _ص)

ولكن الخصم الصحيح خ _ص = جـ – ح _ص

إذن، بالتعويض عنه، فيكون:

الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح = خ _ص × ع × ن

أو بالرموز:

خ _ت – خ _ص = خ _ص × ع × ن

أي أن الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح هو فائدة الخصم الصحيح.

كما يمكن اشتقاق معادلات أخرى لحساب الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح كما يلي:

خ _ت – خ _ص = خ _ت – خ _ت ÷ (1 + ع × ن)

أو:

خ _ت – خ _ص = خ _ت × (1 – 1 ÷ (1 + ع × ن))

أي أن:

خ _ت – خ _ص = خ _ت × (1 – 1 ÷ (1 + ع × ن))

أو:

خ _ت – خ _ص = خ _ت × ((1 + ع × ن + 1 ) ÷ (1 + ع × ن))

أو:

خ _ت – خ _ص = خ _ت × (ع × ن) ÷ (1 + ع × ن)

ولكن لدينا:

خ _ت = جـ × ع × ن

بالتعويض عن قيمة خ _ت ، ينتج أن:

خ _ت – خ _ص = جـ × ع × ن × (ع × ن) ÷ (1 + ع × ن)

أي أن الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح يساوي:

خ _ت – خ _ص = جـ × ع² × ن² ÷ (1 + ع × ن)

مثال على الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح

إذا كان الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح لدين يستحق الدفع بعد 60 يوم هو 4 جنيهات. فإذا علمت أن معدل الخصم 12% سنويًا، فأوجد كل من:

1. الخصم التجاري والخصم الصحيح
2. القيمة الاسمية لهذا الدين

الحل

أولاً: إيجاد الخصم التجاري والخصم الصحيح

من معادلة الفرق بين الخصمين لدينا:

خ _ت – خ _ص = خ _ص × ع × ن

ومنها يكون:

خ _ص = ( خ _ت – خ _ص ) ÷ (ع × ن)

بالتعويض عن القيم المعطاة في المثال، يكون لدينا:

خ _ص = ( 4 ) ÷ ((12÷100) × (60÷360))

خ _ص = ( 4 ) ÷ (0.02)

أي أن:

خ _ص = 200 جنيه

وبعد ذلك بالتعويض في الفرق المعطى بين الخصمين في المثال يكون:

الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح = 4

خ _ت – خ _ص = 4

فيكون:

خ _ت – 200 = 4

خ _ت = 4 + 200 = 204 جنيه

ثانيًا: إيجاد القيمة الاسمية للدين

من معادلة الخصم التجاري لدينا:

خ _ت = جـ × ع × ن

ومنها يكون:

جـ = خ _ت ÷ (ع × ن)

جـ = 204 ÷ ((6÷100) × (60÷360)) = 204 ÷ (0.02)

أي أن:

جـ = 10200 جنيه

الأجيو في الفائدة البسيطة

إذا قدم الدائن كمبيالة أو سند إذني إلى أحد البنوك للحصول عل قيمتها نقدًا قبل ميعاد استحقاقها، فإن البنك يحل محل الدائن في الحصول على القيمة الاسمية للورقة التجارية من المدين فى تاريخ استحقاقها، وذلك في نظير أن يقوم بخصم مبلغ معين من الدائن مقابل دفع قيمة هذه الورقة قبل ميعاد استحقاقها، هذا بالإضافة إلى الحصول على عمولة معينة متفق عليها من القيمة الاسمية، وتُسمى عمولة البنك، وكذلك مصروفات تحصيل على القيمة الاسمية للورقة التجارية. ولا تدخل المدة أو معدل الخصم في الاعتبار.

جدير بالذكر بأن قيمة كل من عمولة البنك ومصاريف التحصيل تُحسب كنسبة مئوية من القيمة الاسمية للورقة التجارية، وبناءً على ذلك فإن مصاريف الخصم أو الأجيو تتكون من الخصم التجاري وعمولة البنك ومصاريف التحصيل.

من هذا التعريف، يمكن حساب القيم التالية:

الأجيو = الخصم التجاري + عمولة البنك + مصاريف التحصيل

صافي القطع أو صافي قيمة الورقة التجارية = القيمة الاسمية – الأجيو

معدل الخصم الإجمالي السنوي = الأجيو ÷ (القيمة الاسمية × المدة)

مثال على الآجيو

في أول فبراير سنة 1990 حررت كمبيالة بقيمة اسمية 5000 جنيه تستحق الدفع في 27 أغسطس من نغس العام. وفي 23 إبريل من نفس العام وقبل ميعاد استحقاق الكمبيالة قدمت للقطع (الخصم) لدى أحد البنوك. فإذا علمت أن معدل الخصم 6% سنويًا، ويتقاضى البنك عمولة بواقع 4 في الألف، ومصاريف تحصيل 0.5 في الألف بحد أدنى 25 جنيه، كما أن البنك يضيف يوم مهلة للسداد، فأوجد كل من:

1. صافي قيمة الكمبيالة
2. معدل الخصم الإجمالي السنوي

الحل

المعطيات:

تاريخ تحرير الكمبيالة = 1 فبراير 1990

تاريخ القطع (الخصم) = 23 إبريل 1990

وتاريخ الاستحقاق = 27 أغسطس 1990

مدة الخصم (من تاريخ الخصم إلى تاريخ الاستحقاق)

مدة الخصم بالأيام = 7 (إبريل) + 31 (مايو) + 30 (يونيو) + 31 (يوليو) + 27 (أغسطس) + 1 (يوم مهلة)

أي أن:

مدة الخصم = 127 يوم

إيجاد الخصم التجاري:

من معادلة حساب الخصم التجاري لدينا:

خ _ت = جـ × ع × ن

خ _ت = 5000 × (6÷100) × (127÷360)

أي أن:

خ _ت = 105.833 جنيه

إيجاد عمولة البنك:

عمولة البنك = 5000 × (4÷1000) = 20 جنيه

إيجاد مصاريف التحصيل:

مصاريف التحصيل = 5000 × (5÷1000) = 25 جنيه

إيجاد الأجيو

الأجيو = الخصم التجاري + عمولة البنك + مصاريف التحصيل

الأجيو =105.833 + 20 + 25 = 150.833 جنيه

إيجاد صافي الكمبيالة:

صافي القطع أو صافي قيمة الورقة التجارية = القيمة الاسمية – الأجيو

صافي القطع أو صافي قيمة الكمبيالة = 5000 – 150.833 = 4849.176 جنيه

إيجاد معدل الخصم الإجمالي السنوي:

لحساب معد الخصم الإجمالي السنوي يجب ملاحظة أنه يتم حسابه على أساس مدة الخصم قبل إضافة يوم المهلة، ويتم حسابه كما يلي:

معدل الخصم الإجمالي السنوي (قبل إضافة يوم المهلة) = الأجبو ÷ (القيمة الاسمية جـ × المدة ن)

معدل الخصم الإجمالي السنوي = 150.833 ÷ (5000 × 126÷360)

أي أن:

معدل الخصم الإجمالي السنوي = 0.08619 = 8.619 %

المراجع

• كتاب الرياضة المالية أو الرياضيات المالية، دكتور يحيى موسى حسين الجبالي، دكتور محمد إبراهيم خليل، 2011م.
• كتاب محاضرات في الرياضيات المالية، إعداد: د. م. مصطفى عبيد، 2000م.
• موسوعة العلوم المالية والمصرفية، مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات، 2023.