الرئيسية » المراجع العلمية » الرياضيات المالية » الدفعات المتساوية قصيرة الأجل

الدفعات المتساوية قصيرة الأجل

الدفعات المتساوية قصيرة الأجل

آخر تحديث: مايو 19, 2022

الملخص

شرح وتبسيط مفهوم الدفعات المتساوية قصيرة الأجل (بمعدل فائدة بسيطة) وأنواعها، الدفعات العادية والدفعات غير العادية (الفورية). شرح طريقة حساب إجمالي الفائدة وجملة الدفعات المتساوية بأنواعها العادية وغير العادية. أمثلة محلولة على الدفعات المتساوية قصيرة الأجل، تمارين وتطبيقات عملية من واقع الحياة اليومية.

تعريف الدفعات المتساوية قصيرة الأجل

الدفعات المتساوية هي مبالغ متساوية يتم دفعها بصورة منتظمة وعلى فترات زمنية متساوية. وتنقسم الدفعات المتساوية إلى نوعين من الدفعات هما الدفعات العادية والدفعات غير العادية.

الدفعات العادية

الدفعات العادية والتي تُسمى دفعات السداد، هي الدفعات التي يتم دفعها آخر كل فترة زمنية (شهر أو سنة مثلا).

فقد يتم دفعها آخر كل شهر أو آخر كل شهرين أو آخر كل 3 شهور أو آخر أي مدة زمنية أخرى.

الدفعات غير العادية أو الفورية

الدفعات غير العادية والتي تُسمى الدفعات الفورية أو دفعات الاستثمار، هي الدفعات التي يتم دفعها أول كل فترة زمنية.

فقد تُدفع أول كل شهر أو أول كل شهرين أو أول كل 3 شهور أو أول أي مدة زمنية أخرى.

حساب إجمالي الفائدة وجملة الدفعات المتساوية

إذا افترضنا أننا أردنا حساب فوائد وجملة دفعة متساوية فإن قيمة الفوائد المستحقة عن استخدام استثمار مبالغ الدفعات تتوقف على ما يلي:

  • مبلغ الدفعة ويرمز له (م)
  • عدد الدفعات ويرمز له بالرمز (د)
  • معدل الفائدة ويرمز له بالرمز (ع)
  • جملة الدفعات ويرمز لها بالرمز (جـ)

يمكن إيجاد جملة الدفعات باستخدام القانون أو المعادلة الرياضية التالية:

جملة الدفعات = مجموع مبالغ الدفعات + مجموع فوائدها

حساب مجموع فوائد الدفعات

الأصل أنه من أجل حساب مجموع فوائد الدفعات يتم جمعها ببساطة كما يلي:

مجموع فوائد الدفعات = فوائد الدفعة الأولى + فوائد الدفعة الثانية + فوائد الدفعة الثالثة + ….. + فوائد الدفعة الأخيرة

وبالتعويض عن قانون حساب الفائدة البسيطة لكل دفعة (الفائدة = المبلغ × معدل الفائدة × المدة)، ينتج أن:

مجموع فوائد الدفعات = (مبلغ الدفعة × معدل الفائدة × مدة الدفعة الأولى) + (مبلغ الدفعة × الفائدة × مدة الدفعة الثانية) + (مبلغ الدفعة × الفائدة × مدة الدفعة الثالثة) + ………… + (مبلغ الدفعة × الفائدة × مدة الدفعة الأخيرة)

وبتبسيط هذه المعادلة بأخذ (مبلغ الدفعة × معدل الفائدة) كعامل مشترك بين جميع الأقواس، فإن الناتج يكون كما يلي:

مجموع فوائد الدفعات = (مبلغ الدفعة × معدل الفائدة) × (مدة الدفعة الأولى + مدة الدفعة الثانية + مدة الدفعة الثالثة + ………… + مدة الدفعة الأخيرة)

أي أن:

مجموع فوائد الدفعات = مبلغ الدفعة × معدل الفائدة × مجموع مدد الدفعات

حساب جملة الدفعات المتساوية

بالعودة إلى معادلة حساب جملة الدفعات المتساوية، لدينا:

جملة الدفعات = مجموع مبالغ الدفعات + مجموع فوائدها

وحيث أن:

  1. مجموع مبالغ الدفعات = مبلغ الدفعة × عدد الدفعات
  2. مجموع فوائد الدفعات = مبلغ الدفعة × معدل الفائدة × مجموع مدد الدفعات

وبالتعويض عن 1 و2 في معادلة حساب الجملة، ينتج أن:

جملة الدفعات جـ = (مبلغ الدفعة × عدد الدفعات) + (مبلغ الدفعة × معدل الفائدة × مجموع مدد الدفعات)

أو بالرموز:

جـ = (م × د) + (م × ع × مجموع مدد الدفعات)

حيث:

  • م = مبلغ الدفعة
  • د = عدد الدفعات
  • ع = معدل الفائدة
  • جـ = جملة الدفعات

حساب مجموع مدد الدفعات

إن صعوبة الأمثلة والمسائل والتمارين التي تتعلق بموضوع جملة الدفعات المتساوية قصيرة الأجل تكمن في حساب مجموع مدد الدفعات، أي حساب مجموع (مدة الدفعة الأولى + مدة الدفعة الثانية + مدة الدفعة الثالثة + … وهكذا إلى مدة الدفعة الأخيرة).

ومن أجل تبسيط هذا الأمر، يتم تطبيق مفهوم المتتالية الحسابية على مدد الدفعات، وذلك لأنها تتغير بشكل منتظم ومتتابع تمامًا مثل المتتالية الحسابية. مثلاً لمعرفة مجموع مدد عدد 12 من الدفعات الشهرية الفورية (التي تُدفع أول كل شهر)، يتم جمع مدة الدفعة الأولى، التي يتم دفعها في الشهر الأول من السنة وتبقى لمدة 12 شهر في البنك، وهي بالتالي مدتها 12 شهر، وإضافتها إلى مدة الدفعة الثانية، التي يتم دفعها في الشهر الثاني وتبقى لمدة 11 شهر في البنك أي تكون مدتها 11 شهر، وإضافتها إلى مدة الدفعة الثالثة التي تكون مدتها 10 شهور، وإضافتها إلى مدة الدفعة الرابعة والتي تكون مدتها 9 شهور. وهكذا لغاية مدة الدفعة الأخيرة التي تكون شهر واحد فقط.

ويلاحظ في هذا المثال التوضيحي أنه كلما تقدم ترتيب الدفعة الشهرية تنقص مدتها بمقدار الترتيب الذي تقدمت به، ويكون بالنهاية لدينا ما يلي:

مجموع مدد الدفعات = 12 شهر + 11 شهر + 10 شهور + 9 شهور + ….. + شهرين + شهر واحد

أي أن:

مجموع مدد الدفعات = 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

ولكن من قانون حساب مجموع المتتالية الحسابية (وهي هنا متتالية من المدد) نعلم أن:

مجموع أي متتالية حسابية = (عدد حدودها ÷ 2) × (الحد الأول + الحد الأخير)

ومنها نستنتج معادلة حساب مجموع مدد الدفعات لتكون كما يلي:

مجموع مدد الدفعات = (عدد الدفعات ÷ 2) × (مدة الدفعة الأولى + مدة الدفعة الأخيرة)

أمثلة على الدفعات المتساوية قصيرة الأجل

مثال رقم (1)

يودع شخص مبلغ 100 جنيه كل شهر في أحد البنوك لمدة سنة، بمعدل فائدة بسيطة 10% سنويًا. أوجد جملة المُستحق له نهاية السنة وذلك إذا كان الإيداع يتم:

  1. أول كل شهر
  2. آخر كل شهر
  3. في منتصف كل شهر

حل المثال رقم (1)

أولاً: إذا كان الإيداع يتم أول كل شهر (دفعات فورية)

لدينا:

جملة الدفعات جـ = (م × د) + (م × ع × مجموع مدد الدفعات)

مجموع مدد الدفعات = (عدد الدفعات ÷ 2) × (مدة الدفعة الأولى + مدة الدفعة الأخيرة)

بما أن الدفعات فورية، يتم دفعها أول كل شهر، فإن مدة الدفعة الأولى التي تُدفع في أول يناير سوف تكون مساوية 12 شهر (لأنها سوف تبقى في البنك لغاية نهاية السنة أي نهاية شهر ديسمبر)

ومدة الدفعة الأخيرة التي تُدفع في أول شهر ديسمبر سوف تكون مساوبة 1 لأنها سوف تبقى في البنك لغاية نهاية السنة أي نهاية شهر ديسمبر.

ويكون لدينا:

مجموع مدد الدفعات = (12 ÷ 2) × (12 + 1) = 78 شهر.

ونكون جملة الدفعات في نهاية السنة كما يلي:

جـ = 100 × 12 + 100 × (10% ÷ 12 شهر) × 78

جـ = 1200 + 65 = 1265 جنيه

ثانيًا: إذا كان الإيداع يتم آخر كل شهر (دفعات عادية)

بما أن الدفعات عادية، يتم دفعها آخر كل شهر، فإن مدة الدفعة الأولى التي يتم دفعها في آخر شهر يناير سوف تساوي 11 شهر (لأنها سوف تبقى في البنك لغاية نهاية السنة أي نهاية شهر ديسمبر).

أما مدة الدفعة الأخيرة التي تُدفع في آخر شهر ديسمبر سوف تكون مساوبة صفر لأنها سوف تبقى في البنك لغاية نهاية السنة أي نهاية شهر ديسمبر، فهي ليس لها مدة.

ويكون بالتالي لدينا:

مجموع مدد الدفعات = (12 ÷ 2) × (11 + صفر) = 66 شهر.

ونكون جملة الدفعات في نهاية السنة كما يلي:

جـ = 100 × 12 + 100 × (10% ÷ 12 شهر) × 66

جـ = 1200 + 55 = 1255 جنيه

ثالثًا: إذا كان الإيداع يتم في منتصف كل شهر

بما أن الدفعات يتم دفعها في منتصف كل شهر، فإن مدة الدفعة الأولى التي يتم دفعها في منتصف شهر يناير سوف تكون مساوية 11.5 شهر (لأنها سوف تبقى في البنك من منتصف شهر يناير ولغاية نهاية السنة أي نهاية شهر ديسمبر).

أما مدة الدفعة الأخيرة التي يتم دفعها في منتصف شهر ديسمبر سوف تكون مساوبة 0.5 شهر لأنها سوف تبقى في البنك لغاية نهاية السنة أي نهاية شهر ديسمبر.

ويكون بالتالي لدينا:

مجموع مدد الدفعات = (12 ÷ 2) × (11.5 + 0.5) = 72 شهر.

ونكون جملة الدفعات في نهاية السنة كما يلي:

جـ = 100 × 12 + 100 × (10% ÷ 12 شهر) × 72

جـ = 1200 + 60 = 1260 جنيه

أدوات حساب جملة الدفعات المتساوية

يمكن استخدام حاسبة الفائدة البسيطة والمركبة لحساب الفائدة البسيطة والمركبة وجملة المبلغ المستثمر بفائدة بسيطة أو مركبة بنهاية مدة الاستثمار، وكذلك القيمة الحالية للدفعات المؤقتة والدائمة بفائدة مركبة، مع شرح طريقة الاستخدام والمعادلات الرياضية التي تستند إليها كل الحسابات، وهي من تصميم مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات.

لقراءة موضوع أدوات حاسبة مخصصة يمكن زيارة الرابط التالي: أدوات حاسبة مخصصة – مركز البحوث والدراسات

مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات – قسم البرامج والتطبيقات

المراجع

  • كتاب الرياضة المالية، دكتور يحيى موسى حسين الجبالي، دكتور محمد إبراهيم خليل، 2011م.
  • كتاب محاضرات في الرياضيات المالية، إعداد: د. م. مصطفى عبيد، 2000م.
الدفعات المتساوية قصيرة الأجل
الدفعات المتساوية قصيرة الأجل