السقوط الحر تحت تأثير الجاذبية الأرضية

السقوط الحر

بنهاية هذا القسم الخاص بموضوع السقوط الحر، سيكون القارئ قادرًا على:

  • استخدم المعادلات الحركية مع المتغيرين y و g لتحليل حركة السقوط الحر.
  • وصف كيفية تغير قيم الموقع والسرعة والتسارع أثناء السقوط الحر.
  • إيجاد الموضع والسرعة والتسارع كدوال رياضية بدلالة الزمن عندما يكون الجسم في حالة سقوط حر.

أحد التطبيقات المثيرة للاهتمام لمعادلات الحركة مع تسارع ثابت وهي المعادلات من 3.4 ولغاية المعادلة 3.14 يسمى السقوط الحر، والذي يصف حركة سقوط الجسم في مجال الجاذبية، مثل السقوط الحر بالقرب من سطح الأرض أو غيرها من الأجرام السماوية ذات الحجم الكوكبي. لنفترض أن الجسم يسقط في خط مستقيم عمودي على السطح، لذا فإن حركته أحادية البعد. على سبيل المثال، يمكننا تقدير عمق عمود المنجم الرأسي عن طريق إسقاط صخرة فيه والاستماع إلى الصخرة عندما تصل إلى وتصطدم في القاع. لكن “السقوط” في سياق السقوط الحر لا يعني بالضرورة أن الجسم يتحرك من ارتفاع أكبر إلى ارتفاع أقل. فإذا تم رمي الكرة إلى الأعلى، فإن معادلات السقوط الحر تنطبق بالتساوي على صعودها ونزولها.

الجاذبية الأرضية

الحقيقة الأكثر بروزًا وغير المتوقعة حول الأجسام المتساقطة هي أنه إذا كانت مقاومة الهواء والاحتكاك لا تكاد تذكر، فعندئذٍ في موقع معين تسقط جميع الأجسام نحو مركز الأرض بنفس التسارع الثابت، بغض النظر عن كتلتها.

هذه الحقيقة التي تم تحديدها تجريبيًا غير متوقعة لأننا معتادون على تأثيرات مقاومة الهواء والاحتكاك لدرجة أننا نتوقع أن تسقط الأجسام الخفيفة بشكل أبطأ من الأجسام الثقيلة. وإلى أن أثبت جاليليو جاليلي (1564–1642) خلاف ذلك، اعتقد الناس أن الجسم الأثقل له تسارع أكبر في السقوط الحر. نحن نعلم الآن أن هذا ليس هو الحال. في حالة عدم وجود مقاومة للهواء، تصل الأجسام الثقيلة إلى الأرض في نفس الوقت الذي تصل فيه الأجسام الأخف وزنًا عند سقوطها من نفس الارتفاع.

شكل 3.26 السقوط الحر لريشة ومطرقة بنفس التسارع الثابت إذا كانت مقاومة الهواء ضئيلة. هذه خاصية عامة للجاذبية ليست فريدة من نوعها على الأرض، كما أوضح رائد الفضاء ديفيد آر سكوت في عام 1971 على سطح القمر، حيث يبلغ تسارع الجاذبية 1.67 م / ث2 ولا يوجد غلاف جوي
شكل 3.26 السقوط الحر لريشة ومطرقة بنفس التسارع الثابت إذا كانت مقاومة الهواء ضئيلة. هذه خاصية عامة للجاذبية ليست فريدة من نوعها على الأرض، كما أوضح رائد الفضاء ديفيد آر سكوت في عام 1971 على سطح القمر، حيث يبلغ تسارع الجاذبية 1.67 م / ث2 ولا يوجد غلاف جوي

في العالم الحقيقي، يمكن أن تتسبب مقاومة الهواء في سقوط جسم أخف بشكل أبطأ من جسم أثقل من نفس الحجم. تصل كرة التنس إلى الأرض بعد وصول كرة بيسبول حتى لو تم إسقاطهما في نفس الوقت، (قد يكون من الصعب ملاحظة الاختلاف إذا لم يكن الارتفاع كبيرًا). مقاومة الهواء تعارض حركة الجسم عبر الهواء، والاحتكاك بين الأشياء – مثل بين الملابس ومزلقة الغسيل أو بين الحجر ومياه المسبح التي يتم إسقاطه فيها – تعارض أيضًا الحركة بينهما.

مقدار تسارع الجاذبية الأرضية

بالنسبة للحالات المثالية لهذه الموضوعات الأولى، يتم تعريف الجسم الذي يسقط بدون مقاومة الهواء أو الاحتكاك بأنه في حالة سقوط حر. تتسبب قوة الجاذبية في سقوط الأجسام باتجاه مركز الأرض. لذلك يسمى تسارع سقوط الأجسام الحرة بالتسارع بسبب الجاذبية أو عجلة الجاذبية. والتسارع بسبب الجاذبية ثابت، مما يعني أنه يمكننا تطبيق معادلات الحركة على أي جسم ساقط حيث تكون مقاومة الهواء والاحتكاك ضئيلة. هذا يفتح لنا فئة واسعة من المواقف المثيرة للاهتمام.

التسارع بسبب الجاذبية مهم جدًا لدرجة أن مقداره يُعطى باستخدام رمزه الخاص g. إنه ثابت في أي مكان معين على الأرض وله متوسط ​​القيمة التالية:

g = 9.81 m/s2

أو بوحدات القدم:

g = 32.2 ft/s2

على الرغم من أن g تختلف من 9.78 متر / ث2 إلى 9.83 متر / ث2، اعتمادًا على خط العرض والارتفاع والتكوينات الجيولوجية الأساسية والتضاريس المحلية، فسنستخدم متوسط ​​قيمة 9.8 متر / ث2 مقربًا إلى رقمين عشريين في هذا الكتاب لم ينص على خلاف ذلك. بإهمال هذه التأثيرات على قيمة g كنتيجة للموضع على سطح الأرض، بالإضافة إلى التأثيرات الناتجة عن دوران الأرض، فإننا نأخذ اتجاه التسارع بسبب الجاذبية ليكون باتجاه الأسفل (باتجاه مركز الأرض).

في الواقع، يحدد اتجاه الجاذبية بطريقة الاتجاه عموديًا أعلى وأسفل. لاحظ أن ما إذا كان التسارع a في المعادلات الحركية له القيمة + g أو g يعتمد على كيفية تعريفنا لنظام الإحداثيات. إذا حددنا الاتجاه الصاعد بأنه موجب، فعندئذٍ a = −g = −9.8 m / s2 ، وإذا حددنا اتجاه الهبوط بأنه موجب، فعندئذٍ a = g = 9.8 m/s2.

الحركة أحادية البعد تحت تأثير الجاذبية

أفضل طريقة لرؤية السمات الأساسية للحركة تحت تأثير الجاذبية هي البدء بأبسط المواقف ثم التقدم نحو المواقف الأكثر تعقيدًا. لذلك، نبدأ بالتفكير في الحركة المستقيمة لأعلى ولأسفل بدون مقاومة الهواء أو الاحتكاك.

تعني هذه الافتراضات أن السرعة (إن وجدت) فهي سرعة رأسية. إذا سقط جسم ما، فإننا نعلم أن السرعة الابتدائية تساوي صفرًا عندما يكون في حالة سقوط حر. عندما يكون الجسم قد ترك الاتصال مع أي شيء تمسك به أو رميه، يكون الجسم في حالة سقوط حر. وعندما يتم رمي الجسم، يكون له نفس السرعة الأولية في السقوط الحر كما كان عليه قبل إطلاقه. عندما يتلامس الجسم مع الأرض أو أي جسم آخر، فإنه لم يعد في حالة سقوط حر ولم يعد تسارعه g صالحًا. في ظل هذه الظروف، تكون الحركة أحادية البعد ولها تسارع ثابت مقداره g. يتم التعبير عن الإزاحة الرأسية بالرمز y.

معادلات الحركة للأجسام في حالة السقوط الحر

نفترض هنا أن التسارع أو العجلة تساوي −g (مع الاتجاه الموجب لأعلى).

v = v0 − gt

(3.15)

y = y0 + v0 t −1/2 gt2

(3.16)

v2 = v02 − 2g (y − y0)

(3.17)

إستراتيجية حل مسائل السقوط الحر

  1. حدد إشارة تسارع الجاذبية. في المعادلات 3.15 و3.16 و3.17، يكون تسارع الجاذبية g سالبًا، مما يشير إلى أن الاتجاه الموجب للأعلى والاتجاه السالب للأسفل. في بعض المسائل، قد يكون من المفيد أن يكون التسارع g موجبًا، مما يشير إلى أن الاتجاه الموجب هو اتجاه الهبوط.
  2. ارسم مخططًا للمسألة. هذا يساعد على تصور الفيزياء المعنية.
  3. سجل القيم المعلومة والقيم المجهولة من وصف المسألة والمعطيات المبينة فيها. يساعد ذلك في وضع استراتيجية لاختيار المعادلات المناسبة لحل المسألة.
  4. حدد أي من المعادلة 3.15 إلى المعادلة 3.17 يجب استخدامه لإيجاد قيم الكميات المجهولة.

مثال 3.14: السقوط الحر للكرة

يوضح الشكل 3.27 مواضع الكرة، على فترات مكونة من 1 ثانية، بسرعة ابتدائية 4.9 متر / ث باتجاه الأسفل، يتم رميها من أعلى مبنى بارتفاع 98 متر. (أ) كم من الوقت ينقضي قبل أن تصل الكرة إلى الأرض؟ (ب) ما هي سرعتها عند وصولها إلى الأرض؟

الشكل 3.27 المواضع والسرعات على فترات من 1 ثانية للسقوط الحر للكرة التي تم رميها لأسفل من مبنى طويل بسرعة 4.9 م/ث
الشكل 3.27 المواضع والسرعات على فترات من 1 ثانية للسقوط الحر للكرة التي تم رميها لأسفل من مبنى طويل بسرعة 4.9 م/ث

إستراتيجية الحل

اختر نقطة الأصل في الجزء العلوي من المبنى مع الاتجاه الموجب لأعلى والاتجاه السالب للأسفل. لإيجاد الوقت عندما يكون الموضع سالب 98 م، نستخدم المعادلة 3.16 مع التعويض عن القيم التالية: y0 = 0 ، v0 = −4.9 m / s ، و g = 9.8 m / s2.

الحل

بالتعويض عن القيم المعطاة في المعادلة:

y = y0 + v0 t −1/2 gt2 (3.16)

– 98 m = 0 – (4.9 m/t) t  – 1/2 (9.8 m/s2) t2

وبالتبسيط ينتج لنا:

t2 + t = – 20 = 0

هذه معادلة تربيعية وحلها هو الجذور t = −5 s و t = 4 s. الجذر الموجب هو الجذر الذي نهتم به، لأن الوقت t = 0 هو الوقت الذي يتم فيه إطلاق الكرة في أعلى المبنى. (يمثل الوقت t = −5 s حقيقة أن الكرة التي لو تم رميها إلى الأعلى من الأرض كانت ستظل في الهواء لمدة 5 ثوانٍ قبل أن تمر بالجزء العلوي من المبنى والتي تم إسقاطها منه لأسفل بسرعة 4.9 م / ث).

الآن، باستخدام المعادلة 3.15، لدينا:

v = v0 − gt = −4.9 m/s − (9.8 m/s2)(4.0 s) = −44.1 m/s

الدلالة

بالنسبة للحالات التي يتم فيها الحصول على جذرين من معادلة تربيعية في متغير الوقت، يجب أن ننظر إلى الأهمية المادية لكلا الجذور (الحلول) لتحديد أيهما صحيح. نظرًا لأن t = 0 يتوافق مع الوقت الذي تم فيه إطلاق الكرة، فإن الجذر السالب سيتوافق مع الزمن قبل إطلاق الكرة، وهذا ليس له معنى ماديًا. عندما تصطدم الكرة بالأرض، لا تكون سرعتها صفرًا على الفور، ولكن بمجرد أن تتفاعل الكرة مع الأرض، فإن تسارعها لا يساوي g وتتسارع بقيمة مختلفة خلال فترة زمنية قصيرة إلى أن تصل إلى السرعة الصفرية. توضح هذه المسألة مدى أهمية إنشاء نظام الإحداثيات الصحيح والحفاظ على اتساق إشارة تسارع الجاذبية g في معادلات الحركة.

مثال 3.15: الحركة العمودية لكرة البيسبول

يضرب اللاعب كرة بيسبول بشكل مستقيم لأعلى في اللوحة الرئيسية ويتم التقاط الكرة بعد 5 ثواني من ضربها الشكل 3.28.

(أ) ما السرعة الابتدائية للكرة؟ (ب) ما هو أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة؟ (ج) كم من الوقت يستغرق للوصول إلى أقصى ارتفاع؟ (د) ما هي العجلة أو التسارع عندما تصل الكرة إلى أقصى ارتفاع في مسارها؟ (هـ) ما سرعة الكرة عند إمساكها؟ بفرض  أن الكرة ضُربت وأمسكت في نفس المكان.

الشكل 3.28 التقاط كرة البيسبول بواسطة اللاعب بعد 5 ثانية من ضربها باتجاه الأعلى
الشكل 3.28 التقاط كرة البيسبول بواسطة اللاعب بعد 5 ثانية من ضربها باتجاه الأعلى

إستراتيجية الحل

اختر نظام إحداثيات بمحور y موجب مستقيم لأعلى وأصل يقع في النقطة التي يتم فيها ضرب الكرة وإمساكها.

الحل

أ. لدينا المعادلة 3.16:

y = y0 + v0 t −1/2 gt2

بالتعويض عن القيم المعطاة:

0 = 0 + v0 (5 s) – 1/2 (9.8 m/s2) (5 s)2

بحل هذه المعادلة ينتج لنا:

v0 = 24.5 m / s

ب. عند أقصى ارتفاع، تكون السرعة النهائية v = 0. مع v0 = 24.5 m / s، ومن المعادلة 3.17 يكون لدينا:

v2 = v02 − 2g (y − y0)

بالتعويض عن القيم ينتج:

0 = (24.5 m/s)2 – 2 (9.8 m/s2) (y – 0)

y = 30.6 m

ج. لإيجاد الوقت اللازم حتى تصبح الكرة عند أقصى ارتفاع وتكون بالتالي السرعة النهائية v = 0، نستخدم المعادلة 3.15:

v = v0 – gt

0 = 24.5 m/s – (9.8 m/s2) t

هذا يعطينا t = 2.5 s. نظرًا لأن الكرة تسير باتجاه الأعلى لترتفع لمدة 2.5 ثانية، فإن وقت سقوطها هو 2.5 ثانية.

د. التسارع 9.8 متر / ث2 في كل مكان، حتى عندما تكون السرعة صفرًا في الجزء العلوي من المسار عند أقصى ارتفاع. على الرغم من أن السرعة عند القمة تساوي صفرًا، إلا أنها تتغير بمعدل 9.8 متر / ث2 لأسفل.

ه. يمكن تحديد السرعة عند t = 5 s بالمعادلة 3.15:

v = v0 – gt

بالتعويض عن القيم:

v = 24.5 m/s – (9.8 m/s2) (5 s)

v = – 24.5 m/s

الدلالة

تعود الكرة بالسرعة التي كانت عليها عندما غادرت. هذه خاصية عامة للسقوط الحر لأي سرعة ابتدائية.

استخدمنا معادلة واحدة للانتقال من رمية إلى أخرى، ولم يكن علينا تقسيم الحركة إلى جزأين، لأعلى ولأسفل. اعتدنا على التفكير في أن تأثير الجاذبية هو التسبب في سقوط حر نحو الأرض. من المهم أن نفهم، كما هو موضح في هذا المثال، أن الأجسام التي تتحرك صعودًا بعيدًا عن الأرض تكون أيضًا في حالة سقوط حر.

تحقق من فهمك

ينكسر جزء من الجليد من نهر جليدي ويسقط مسافة 30 مترًا قبل أن يصطدم بالمياه.

بافتراض أنه يسقط سقوط حر (لا توجد مقاومة للهواء)، كم من الوقت يستغرق الوصول إلى الماء؟ ما هي الكمية التي تزداد أسرع، سرعة قطعة الجليد أم المسافة المقطوعة؟

مثال 3.16: حركة الصاروخ

صاروخ صغير مع معزز دفع ينفجر ويتجه مباشرة إلى الأعلى. عندما يبلغ ارتفاعه 5 كم وسرعته 200 متر / ث، فإنه يطلق معزز الدفع الخاص به. (أ) ما هو أقصى ارتفاع يصل إليه معزز الدفع؟ (ب) ما سرعة معزز الدفع عندما يكون على ارتفاع 6 كم؟ مع إهمال مقاومة الهواء.

الشكل 3.29 يطلق الصاروخ معزز الدفع عند ارتفاع وسرعة محددين. ما مدى ارتفاع المعزز وبأي سرعة يسير؟
الشكل 3.29 يطلق الصاروخ معزز الدفع عند ارتفاع وسرعة محددين. ما مدى ارتفاع المعزز وبأي سرعة يسير؟

إستراتيجية الحل

نحتاج إلى تحديد نظام إحداثيات تسارع الجاذبية، والذي نعتبره سالبًا باتجاه الأسفل. نحصل على السرعة الابتدائية لمعزز الدفع وارتفاعه. نحن نعتبر نقطة الإطلاق هي الأصل. نعلم أن السرعة تساوي صفرًا عند أقصى ارتفاع ضمن فترة التسارع؛ وبالتالي، فإن سرعة المعزز تساوي صفرًا عند أقصى ارتفاع له، لذلك يمكننا استخدام هذه المعلومات أيضًا. من هذه الملاحظات، نستخدم المعادلة 3.17، والتي تعطينا أقصى ارتفاع للمعزز. نستخدم أيضًا المعادلة 3.17 لنحصل على السرعة عند ارتفاع 6 كيلومترات. السرعة الابتدائية للمعزز هي 200 متر / ثانية.

الحل

أ. من المعادلة 3.17، v2 = v0 2 – 2g (y – y0). باستخدام v = 0 و y0 = 0، يمكننا إيجاد y:

y = v0 2 / 2g

y = (200 m/s)2 / 2 (9.8 m/s2)2

ومنها ينتج أن:

y = 2040.8 m

يعطي هذا الحل أقصى ارتفاع لمعزز الدفع الصاروخي في نظام الإحداثيات الخاص بنا، والذي يعود أصله إلى نقطة الإطلاق، وبالتالي فإن أقصى ارتفاع للمعزز هو حوالي 7 كم.

ب. الارتفاع 6 كم يتوافق مع y = 1 × 103 m في نظام الإحداثيات الذي نستخدمه. الشروط الأولية الأخرى هي y0 = 0 و v0 = 200 m/s.

لدينا، من المعادلة 3.17:

v2 = (200 m/s)2 – 2(9.8 m/s2) (1 × 103 m)

v = ± 142.8 m/s

الدلالة

لدينا كل من الحل الإيجابي والسلبي في (ب). نظرًا لأن نظام الإحداثيات لدينا له اتجاه موجب لأعلى، فإن القيمة v = +142.8 m / s يتوافق مع سرعة موجبة لأعلى عند مسافة 6000 متر أثناء الخط الصاعد لمسار المعزز. تتوافق القيمة v = −142.8 m / s مع السرعة عند 6000 متر للخط الهابط لمسار المعزز.

هذا المثال مهم أيضًا لأنه يتم إعطاء الجسم سرعة أولية عند أصل نظام الإحداثيات الخاص بنا، ولكن هذا الأصل يقع عند ارتفاع معين فوق سطح الأرض، والذي يجب أن يؤخذ في الاعتبار عند إيجاد الحل المطلوب.

المصدر

  • موسوعة الفيزياء العامة، ترجمة وإعداد: د. م. مصطفى عبيد، مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات، إسطنبول، 2022.
  • كتاب الفيزياء للجامعات، صموئيل جيه لينغ، جامعة ولاية ترومان، د. جيف ساني، جامعة لويولا ماريماونت ويليام مويبس.