6. الزخم الزاوي

الزخم الزاوي Angular Momentum #

استنتاج معادلة حساب الزخم الزاوي #

الزخم الزاوي لجسم نقطي كتلته m يتحرك بسرعة v بالنسبة لمحور يبعد عن الجسم مسافة محددة بالمتجه r (مقاسًا من محور الدوران إلى الجسم) يُعطى بالعلاقة:

حيث p هي الزخم الخطي للجسم. وهو يساوي:

p = m v

كما أن السرعة الخطية v تساوي:

v = r ω

والآن بالتعويض عن كل من p و v على الترتيب ينتج أن:

ولكن القصور الدوراني يُعطى بالعلاقة:

I = m r²

وبالتعويض عنه نحصل على معادلة حساب الزخم الزاوي:

الزخم الزاوي كمية متجهة #

الزخم الزاوي هو كمية فيزيائية متجهة، تعبر عن حاصل ضرب العزم الدوراني في السرعة الزاوية. ويتم تعيين اتجاه الزخم الزاوي باستخدام قاعدة اليد اليُمنى.

وحدة قياس الزخم الزاوي #

من قانون حساب الزخم الزاوي يمكن استنتاج أن:

وحدة قياس الزخم الزاوي = وحدة قياس القصور الدوراني × وحدة قياس السرعة الزاوية

وحدة قياس الزخم الزاوي = (كجم × متر ²) × (راد / ثانية)، أو بالرموز: kg.m².rad/s.

صيغة قانون نيوتن الثاني بدلالة التغير في الزخم #

من صيغة قانون نيوتن الثاني بدلالة معدل التغير في الزخم الخطي بالنسبة للزمن، لدينا:

ومن التماثل بين الحركة الخطية والحركة الدورانية، تكون الصيغة المناظرة لقانون نيوتن الثاني بدلالة معدل التغير في الزخم الزاوي بالنسبة للزمن:

حيث أن:

 : العزم الكلي الذي يعمل على تدوير الجسم.

 : التغير في الزخم الزاوي خلال الفترة الزمنية.

أي أن محصلة العزوم المؤثرة على جسم يتحرك حركة دورانية حول محور ثابت تساوي المعدل الزمني للتغير في الزحم الزاوي للجسم.

قانون حفظ الزخم الزاوي #

في ظل ظروف معينة، يكون الزخم الزاوي كمية فيزيائية محفوظة، بحيث ينطبق قانون حفظ الزخم الزاوي. ونتيجة لذلك فإن العزم الكلي يساوي صفر (لأن الزخم الزاوي ثابت لا يتغير).

وبالتالي يكون:

∆L = 0

L ₂ – L ₁ = 0

L ₁ = L ₂

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

وينص قانون حفظ الزخم الزاوي على أنه:

“الزخم الزاوي لجسم أو لمجموعة من الأجسام ثابت ما لم تؤثر عليها عزوم دوران خارجية”.

ومن شروط حفظ الزخم الزاوي:

1. أن تكون محصلة العزوم المؤثرة على الجسم أو النظام تساوي صفر.
2. أن يبقى محور الدوران ثابتًا بدون تغيير.

مثال (5) #

تدور الأرض حول محورها مرة واحدة في كل يوم. لو افترضنا أن الأرض انكمشت بطريقة ما بحيث أصبح قطرها مساويًا لنصف قيمته الحالية. فما هي سرعة الأرض في هذه الحالة الافتراضية. (استخدم العلاقة I = 2/5 mr² من الجدول).

الحل

بما أنه لا يؤثر أي عم خارجي على الأرض في حالة الانكماش، وبما أن محور الدوران ثابت، إذن ينطبق قانون حفظ الزحم الزاوي، أي أنه يكون الزخم الزاوي في الحالة العادية يساوي الزخم الزاوي في الحالة الافتراضية، أو بالرموز:

L₁ = L₂

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

 ω₁ =  ω₂

وباعتبار أن كتلة الأرض لم تتغير، أي أن:

m₁ = m₂

وكذلك لدينا من الافتراض:

r₁ = 2 r₂

بالتعويض في المعادلة، نحصل على:

 ω₁ =  ω₂

ω₁ =

ω₂ = 4 ω₁

أي أن سرعة الأرض الزاوية في هذه الحالة الافتراضية سوف تكون 4 دورات في اليوم، ويصبح بالتالي اليوم فقط 6 ساعات.