5. تطبيقات عملية على القيم القصوى #
تطبيقات في مجال الحساب والهندسة #
يمكن تطبيق نظريات وتعريفات القيم القصوى في حل المسائل الحسابية والهندسية لحساب أكبر أو أصغر عدد، أو لإيجاد أكبر أو أطول مسافة ممكنة، أو لحساب أكبر أو أقل مساحة أو حجم ممكن الحصول عليه من خلال توفير مجموعة من المعطيات في كل مسألة.
وتتلخص استراتيجية حل هذا النوع من المسائل الحسابية والهندسية في استخدام المعطيات المتوفرة في المسألة من أجل تكوين المعادلة الرياضية التي تمثل الاقتران الذي يتم بعدها تطبيق نظريات وتعريفات القيم القصوى عليه لإيجاد القيم الحسابية أو الهندسية المطلوبة في المسألة.
ويتضح ذلك من مجموعة الأمثلة التالية.
مثال (1) #
عددان موجبان مجموعهما 60، جد العددين إذا كان حاصل ضربهما أكبر ما يمكن.
الحل
نفرض أن العددين هما س، ص وأن حاصل ضربهما هو م فيكون:
م = س × ص
لكن س + ص = 60 ومنه ص = 60 – س
بالتعويض عن ص ينتج أن:
م = س × ص = س × (60 – س) = 60 س – س2
بأخذ المشتقة:
م/ = 60 – 2 س
نجعل م/ = صفر ومنها يكون: 60 – 2 س = صفر، أي أن: س = 30
للتحقق نحسب قيمة م// = – 2 ومنها م// (عند س = 30) = – 2 وهي قيمة < صفر
أي أنه عند س = 30 يكون حاصل الضرب قيمة قصوى أو أكبر ما يمكن، وبالتالي يكون العددان هما 30، 30.
مثال (2) #
يُراد صنع صندوق هدايا قاعدته مربعة الشكل من الكرتون المقوى حجمه 8 دسم3، جد أبعاده بحيث تكون تكلفة تصنيعه أقل ما يمكن، علمًا بأن سعر المتر ثابت.
الحل
نفرض طول ضلع قاعدة الصندوق (س) دسم، وارتفاعه (ص) دسم. فيكون لدينا:
الحجم = الطول × العرض × الارتفاع
أو الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع
ح = س2 × ص
وحيث أنه الحجم المطلوب هو 8 دسم3 فيكون:
س2 ص = 8
المساحة الكلية للصندوق = مساحة الجوانب الأربعة + مساحة القاعدتين، أي أن:
م = 4 س × ص + 2 س2
بالتعويض عن قيمة ص = 8 / س2
م = 4 س × 8/س2 + 2 س2
م = 32/س + 2 س2
وبأخذ المشتقة الأولى لـ م ينتج أن:
م/ = -32/س2 + 4 س
والآن بوضع م/ = صفر ينتج أن:
32/س2 = 4 س
س3 = 8 ومنها س = 2
وبأخذ المشتقة الثانية لـ م:
م// = -64/س3 + 4
وبالتعويض عند س = 2 يكون ت//(2) = 64/8 + 4 = 12 وهي قيمة > صفر، إذن هي قيمة صغرى محلية وحيدة فهي صغرى مطلقة.
أي أن التكلفة تكون أقل ما يمكن عندما تكون قاعدة الصندوق مربع طول ضلعه 2دسم، وارتفاع الصندوق 2 دسم.
