1. المصفوفات

1. المصفوفات #

تعريف المصفوفة #

المصفوفة هي تنظيم مستطيل الشكل لمجموعة من الأعداد، على هيئة صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين [ ] ويرمز لها بأحد الأحرف أ، ب، …، وتسمى الأعداد داخل المصفوفة مدخلات.

وتتحدد رتبة المصفوفة بعدد الصفوف وعدد الأعمدة فيها، على النحو التالي: م × ن حيث م يمثل عدد صفوفها، ن يمثل عدد أعمدتها، وتُقرأ م في ن.

عدد مدخلات المصفوفة = عدد صفوفها × عدد أعمدتها.

الصورة العامة للمصفوفة من الرتبة م × ن تكون على النحو التالي:

وتتحدد أي مُدخلة في المصفوفة بحسب الصف والعمود الواقعة فيهما، فالمدخلة التي تقع في تقاطع الصف ي مع العمود ه هي المدخلة أ _{ي ه.}.

مثال (1) #

إذا كانت:

1. جد رتبة كل من المصفوفتين أ ، ب
2. جد أ _٢١ ، ب ₁₂

الحل

1. المصفوفة أ تتكون من 3 صفوف وعمودين فهي من الرتبة 3 × 2، والمصفوفة ب من الرتبة 2 × 3.
2. قيمة المدخلة أ _٢١ = – 2 ، ب _١٢ = 1.

أنواع خاصة من المصفوفات #

• المصفوفة المربعة: هي المصفوفة التي يكون عدد صفوفها = عدد أعمدتها = ن، وتسمى عندئذ مصفوفة مربعة من الرتبة ن.
• مصفوفة الوحدة: ويرمز لها بالرمز (م) وهي مصفوفة مربعة، وتكون مدخلاتها على النحو الآتي:

• المصفوفة الصفرية (و): هي المصفوفة التي جميع مدخلاتها أصفار، مثل:

• مصفوفة الصف: هي المصفوفة المكونة من صف واحد مثل:

• مصفوفة العمود: هي المصفوفة المكونة من عمود واحد مثل:

• المصفوفة القُطرية: هي المصفوفة المربعة س بحيث س ي ه = صفر، ⩝ ي ≠ ه، ونسمي القطر الذي مدخلاته: س ي ه ، ⩝ ي = ه بالقطر الرئيسي للمصفوفة س. مثل:

• المصفوفة المثلثية العلوية: هي المصفوفة المربعة التي تكون مدخلاتها التي تحت القطر الرئيسي أصفارًا، مثل:

مثال (2) #

لديك المصفوفات التالية:

• ما نوع المصفوفة ج؟
• هل ب مصفوفة وحدة؟
• ما مجموع مدخلات العمود الثاني من المصفوفة أ ؟

الحل

1. المصفوفة ج هي مصفوفة عمود.
2. المصفوفة ب ليست مصفوفة وحدة. لأن عناصر القطر الرئيسي لا تساوي 1.
3. مجموع مدخلات العمود الثاني من المصفوفة أ يساوي 2.

تساوي مصفوفتين #

تتساوى المصفوفتان أ، ب إذا كان لهما نفس الرتبة، وكانت مدخلاتهما المتناظرة متساوية.

وبالرموز نقول أن أ = ب إذا وفقط إذا كان أ _{ي ه} = ب _{ي ه} لجميع قيم ي ، ه.

مثال (3)

إذا كانت:

1. هل أ = ب؟ ولماذا؟
2. جد قيم س، ص، ع التي تجعل أ = ج

الحل

1. أ ≠ ب لأن أ _١١ ≠ ب _١١
2. بما أن أ = ج، فتكون مدخلاتهما المتناظرة متساوية، ومنها يكون: س = 2 ، ص² = 4

أي أن ص = ± 2 وكذلك جذر ع = 5 ومنها ع = 25.