1. متوسط التغير Rate of Change

متوسط التغير Rate of Change #

مفهوم الاقتران أو الدالة #

الاقتران أو الدالة هو علاقة رياضية تربط بين متغيرين، أحدهما يُطلق عليه اسم المتغير المستقل والآخر يُطلق عليه اسم المتغير التابع. بحيث يتأثر المتغير التابع في كل مرة تتغير فيها قيمة المتغير المستقل.

 وبالمعنى الاصطلاحي فإن مفهوم الاقتران يعني أن المتغير التابع مقترن بالمتغير المستقل ويتبعه ويتغير بتغيره. وكذلك فإن مفهوم الدالة يعني أن المتغير المستقل يدل على المتغير التابع ويساعد في تحديد قيمته في كل مرة يأخذ فيها المتغير المستقل قيمة جديدة.

من أمثلة الاقتران في الحياة اليومية، العلاقة بين كمية الكهرباء التي يتم استهلاكها بالشهر (متغير مستقل) وقيمة فاتورة استهلاك الكهرباء الشهرية (متغير تابع)، فمثلاً يمكن التعبير عن هذا الاقتران كما يلي:

ص = ق (س)

فإذا افترضنا أن هذه العلاقة محددة بالاقتران التالي:

قيمة فاتورة استهلاك الكهرباء الشهرية = كمية الكهرباء المستهلكة × 0.75

أو بالرموز: ص = ق (س) = س × 0.75

وباستخدام هذا الاقتران، يمكن معرفة قيمة الفاتورة بمعرفة كمية الكهرباء المستهلكة. فإذا كانت هذه الكمية س = 400 كيلو وات، فإن قيمة الفاتورة ص = 0.75 × 400 = 300 دولار.

وهكذا، سوف تتغير قيمة الفاتورة (ص) في كل مرة تتغير فيها كمية الاستهلاك (س)، وهذا هو تفسير مفهوم الاقتران أو الدالة ص = ق (س).

نشاط (1) #

عائلة لديها توأمين أولاد محمد وخالد، كانت كتلة محمد قبل عشر سنوات 32 كغم، وأصبحت اليوم 62 كغم، أما كتلة خالد فكانت 29 كغم، ولكنها اليوم 52 كغم. ارتاحت الأم للتغير في كتلة ابنها محمد، بينما ذهبت بابنها خالد إلى الطبيب … برأيك لماذا؟

الحل

بالنسبة لمحمد:

التغير في وزن محمد خلال عشر سنوات = الوزن الثاني (62) – الوزن الأول (32) = 30  كجم.

وبالتالي يكون التغير في الوزن بالنسبة للزمن = 30 كجم / المدة الزمنية (10) = 3 كجم/السنة.

أما بالنسبة لخالد:

التغير في وزن خالد خلال عشر سنوات = الوزن الثاني (52) – الوزن الأول (29) = 23 كجم.

وبالتالي يكون التغير في الوزن بالنسبة للزمن = 23 كجم / المدة الزمنية (10) = 2.3 كجم/السنة.

أي أن السبب هو لأن التغير أو الزيادة في وزن خالد أقل بكثير من التغير أو الزيادة في وزن محمد.

تعريف متوسط التغير #

إذا كان ص = ق (س) اقترانًا وتغيرت س من س₁ إلى س₂، وكانت س₁ ≠ س₂ فإن:

التغير في س يساوي س₂ – س₁ ويُرمز له بالرمز Δس ، ويُقرأ دلتا س.

التغير في الاقتران ص = ق (س) يساوي ص₂ – ص₁ أو يساوي ق (س_٢) – ق (س_١)، ويرمز له بالرمز Δص، ويُقرأ دلتا ص.

متوسط التغير في الاقتران ص = ق(س) يساوي:

ويمكن كتابته على الصورة:

حيث ه = ∆ س ≠ صفر (مقدار التغير في س).

ويطلق عليه اقتران متوسط التغير عند س₁.

مثال (1) #

إذا كان ص = ق(س) = س^٣ – ٥ س + ٣، جد:

1. ∆ س عندما تتغير س من – ١ إلى ٢.
2. التغير في ق(س) عندما تتغير س من – ١ إلى ٢.
3. متوسط التغير في ق(س) عندما تتغير س من – 1 إلى 2.

الحل #

1. بما أن س₁ = -1، س₂ = 2، فإن ∆س = س₂ – س₁ = 3
2. ∆ص = ق (س₂) – ق (س₁) = ق(2) – ق(-1) = 1 – 7 = -6
3. متوسط التغير = Δص/Δس = – 6 / 3 = – 2

المعنى الهندسي لمتوسط التغير #

في الشكل أعلاه، نفرض أنه يمثل منحنى الاقتران ق (س)، ونفرض أن -النقطتين أ (س₁، ص₁)، ب (س₂، ص₂)، تقعان على المنحنى. فيكون:

التغير في س = ∆س = س₂ – س₁

التغير في ص = ∆ص = ص₂ – ص₁ = ق (س₂) – ق (س₁)

متوسط التغير للاقتران ص = ق(س) هو: Δص/Δس حيث:

ولكن من الرسم الهندسي أعلاه، نلاحظ أن ∆ص/ ∆س= ظا ي (ظل الزاوية ي = المقابل/المجاور)

أي أن  ∆ص/ ∆س = ميل المستقيم المار بالنقطتين أ، ب، والذي يُسمى قاطع للمنحنى ص = ق(س). (ميل أي مستقيم = ظل الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات = ظا ي).

تعريف آخر لمتوسط التغير #

متوسط التغير للاقتران ق(س) عندما تتغير س من س₁ إلى س₂ يساوي ميل القاطع المار بالنقطتين (س₁، ق(س₁))،  و(س₂، ق(س₂))، ونسمي الزاوية ي التي يصنعها القاطع للمنحنى مع الاتجاه الموجب لمحور السينات بزاوية ميل المستقيم، ويكون ظا ي = ميل القاطع).

مثال (2) #

إذا قطع المستقيم ل منحنى الاقتران ق (س) = س + جا 2س، في النقطتين (0، ق(س))، ( ، ق( )). احسب:

1. ميل المستقيم ل
2. قياس زاوية ميل المستقيم ل

الحل

ميل المستقيم ل = متوسط التغير في الاقتران ق (س) في الفترة (0، )

ميل المستقيم = ق (π/2) – ق(0) ÷ (π/2-0) = ((π/2+جاπ/2) – (0 + جا 0)) ÷ (π/2) = π/2 ÷ π/2 = وتساوي = 1

بما أن ميل المستقيم = ظا ي = 1ـ، إذن ي = 45 درجة. (لأن ظا 45 = 1).

نشاط (2) #

يمثل منحنى الاقتران ص = ق(س) في الشكل التالي مبيع شركة سيارات حيث ص: المبيع بالملايين خلال س شهرًا، أراد عمر من الرسم إيجاد متوسط التغير في المبيع عندما تتغير س من 1 إلى 3، فكتب ما يلي:

والآن أكمل:

متوسط التغير في ص عندما تتغير س من 3 إلى 7 يساوي:

متوسط التغير في ص عندما تتغير س من 3 إلى 6 يساوي:

مثال 3 #

إذا كان:

وكان متوسط التغير للاقتران ق(س) عندما تتغير س من صفر إلى ب يساوي 1/2. احسب قيمة ب، حيث ب أكبر من صفر.

الحل

بتربيع الطرفين:

4 × (2 ب + 1) = (ب + 2)²

8 ب + 4 = ب ² + 4 ب + 4

ب ² – 4 ب = صفر

ب × (ب – 4) = صفر

ومنها: ب = 4 (ب = صفر قيمة مرفوضة لأن المعطيات اشترطت أن ب أكبر من صفر).

نشاط (3) #

ليكن لدينا الاقتران ص حيث:

لبيان أن متوسط تغير الاقتران ق(س) عندما تتغير س من 1 إلى 1+ ه هو:

أي أن الحل هو عن طريق التعويض بالقاعدة الثانية للاقتران (2س – 1) بدلًا من التعويض بالقاعدة الأولى (س²)، وذلك لأنه عندما تكون ه أصغر من الصفر فإن ذلك يعني أن س = (1 + ه) تكون أصغر من 1، وبالتالي يتم تطبيق القاعدة الثانية من الاقتران الأصلي.

اعتمد على ما سبق في إيجاد متوسط التغير في الاقتران ق(س) في الحالات الآتية:

• عندما تتغير س من 1 إلى 3: نطبق الحالة الأولى، حيث ه = 2 وهي قيمة أكبر من الصفر: والنتيجة هي 2 + ه = 2 + 2 = 4.
• عندما تتغير س من 1 إلى -2: نطبق الحالة الثانية، حيث ه = -3 وهي قيمة أكبر من الصفر: والنتيجة هي 2.

المعنى الفيزيائي لمتوسط التغير #

لو افترضنا أنه لدينا اقتران ف = ق (ن)، والذي يمثل العلاقة بين المسافة (ف) والزمن (ن) لحركة جسم في خط مستقيم بحيث أنه يقطع مسافة مقدارها ف = ف₂ – ف₁ خلال فترة زمنية ن = ن₂ – ن₁، فإنه يمكن التعبير عن متوسط التغير في المسافة (ف) عندما تتغير (ن) من ن₁ إلى ن₂:

ولكن من المعروف أن حاصل قسمة المسافة على الزمن هو كمية فيزيائية = السرعة المتوسطة. لذا فإن متوسط التغير للاقتران ف = ق (ن) يُسمى السرعة المتوسطة خلال الفترة [ن₁، ن₂].

مثال (3) #

يتحرك جسم على خط مستقيم، بحيث أن بُعده (ف) عن النقطة (و) بعد (ن) من الثواني يُعطى بالقاعدة ف = ق (ن) = ن ² + 8 ن. احسب:

1. السرعة المتوسطة في الفترة ]0، 3[
2. السرعة المتوسطة في الفترة ]1، أ[ تساوي 13 متر/ثانية، جد قيمة أ.

الحل

بالتعويض المباشر عن ن₁ = 0 وكذلك عن ن₂ = 3 فتكون:

بالتبسيط نحصل على: أ ² – 5 أ + 4 = صفر، وبحل المعادلة نحصل على قيمة أ = 4.

حلول تمارين الكتاب على درس متوسط التغير #

السؤال الأول #

إذا كان ق(س) = ٣/س + س^٢، جد:

• التغير في الاقتران ق(س) عندما تتغير س من 3 إلى 5.
• متوسط التغير في الاقتران ق(س) عندما تتغير س من 4 إلى 1.

الحل

• مقدار التغير في الاقتران ق(س) = ق(5) – ق(3) = ((3/5) + 25) – ((3/3) + 9) = 128/5 – 50/5 = 78/5
• بالتعويض المباشر عن قيم س₁ وس₂ وقيم ق(س₁) وق(س₂) المناظرة لها في قانون حساب متوسط التغير:

= 51/12 = 17/4

السؤال الثاني #

إذا كان ق(س) = جتاس – ٣ جاس، جد متوسط التغير في الاقتران ق(س) في الفترة [π/2 و π].

الحل

س₁ = π/2

ق(س₁) = جتا(π/2)  – 3 جا(π/2)

ق(π/2) = صفر – 3 = – 3

س₂ = π

ثم بالتعويض المباشر عن قيم س₁ وس₂ وقيم ق(س₁) وق(س₂) المناظرة لها في قانون حساب متوسط التغير، حيث:

السؤال الثالث #

إذا كان:

وكان متوسط التغير للاقتران ق(س) عندما تتغير س من 1 إلى أ ، أ > 2 يساوي 9، احسب قيمة أ.

الحل

من المعطيات لدينا:

س₁ = 1، س₂ = أ

ق(أ) = أ ² + أ ² (باستخدام القاعدة الثانية لأن أ > 2 حسب المعطيات)

ق(1) = 6 – 1 (باستخدام القاعدة الأولى لأن 1 < 2)

بالتعويض في قانون حساب متوسط التغير، ينتج لنا:

السؤال الرابع #

إذا كان متوسط التغير للاقتران ق(س) في الفترة [1، ٣]، يساوي 4، وكان ك(س) = س^٢ + ٣ ق(س). جد متوسط التغير للاقتران ك(س) في نفس الفترة.

الحل

المطلوب إيجاد متوسط التغير للاقتران ك(س) عندما تتغير س من 1 إلى 3.

أي أن المطلوب إيجاد:

ولكن لدينا ك(س) = س^٢ + ٣ ق(س)

بالتعويض في ذلك عن قيم س يكون:

ك(1) = 1 + 3 ق(1)

ك(3) = 9 + 3 ق(3)

وبالتعويض في القانون يكون:

= 4 + 3 × 4 = 16.

السؤال الخامس #

إذا قطع المستقيم ل منحنى الاقتران ق(س) في النقطتين (١، أ)، (3، ب)، وصنع زاوية قياسها ١٣٥ °مع الاتجاه الموجب لمحور السينات. احسب متوسط التغير في الاقتران ه(س) = ٣ ق(س) + س٢ – ١ في الفترة [١، ٣].

الحل

ميل المستقيم ل = ظا 135° = – 1

كذلك من التعريف، لدينا:

ميل المستقيم ل = متوسط التغير في الاقتران ق (س) عندما تتغير س من س₁ = 1 إلى س₂ = 3.

أي أن:

كما لدينا من التعريف أيضًا:

وبالتعويض عن قيمة الاقتران ه(س) = 3 ق(س) + س² -1 في الحالتين عند س=1 وعند س=3، نحصل على:

السؤال السادس #

يتحرك جسم في خط مستقيم بحيث أن بُعده ف بالأمتار عن نقطة الانطلاق بعد ن من الثواني يُعطى بالعلاقة ف = ق(ن) = ن^٢ + ب ن وكانت السرعة المتوسطة في الفترة [١، ٣] تساوي 6 م/ث. فما قيمة الثابت ب.

الحل

من المعنى الفيزيائي لمتوسط التغير، فإن السرعة المتوسطة الفترة [١، ٣] تساوي:

وبالتعويض عن قيمة الاقتران عند ن = 1 و ن = 3 نحصل على:

ومنها 2 ب + 8 = 12 أي أن ب = 2

السؤال السابع #

إذا كان ق(س) = أ س^٢ + ب س + ج، أثبت أن متوسط التغير للاقتران ق(س) عندما تتغير س من 2 إلى ن يساوي أ × (ن + ٢) + ب.

الحل

متوسط التغير للاقتران ق(س) عندما تتغير س من 2 إلى ن هو:

وبالتعويض المباشر عن قيمة س بالقيم ن، 2 نحصل على:

وبالتجميع وأخذ عامل مشترك وإعادة التبسيط نحصل على:

السؤال الثامن #

• إذا كان ق(س) = س + ه ^س + ١، (ه = العدد النيبيري). جد متوسط التغير في الاقتران ق(س) عندما تتغير س من صفر إلى 1.
• إذا كان متوسط التغير للاقتران ق(س) = س + لو _ه س ^ن، س > صفر عندما تتغير س من 1 إلى ه يساوي (٣ – ه)/(1 – ه)، احسب قيمة ن.

الحل

وبالتعويض المباشر قيم ق(1) وق(صفر) نحصل على:

وبالتعويض المباشر عن قيم ق(ه) وق(1) نحصل على:

ومنها ن – 1 = – 3 ، أي أن ن = – 2.