مشتقات الاقترانات المثلثية #
يمكن تعريف مشتقات الاقترانات المثلثية أو مشتقات الدوال المثلثية من خلال القواعد التالية:
قاعدة (1) #
إذا كانت ق(س) = جا س، والزاوية س بالتقدير الدائري، فإن: ق/(س) = جتا س.
مثال (1) #
إذا كان ق(س) = س جا س، جد ق/(π/2)
الحل
قَ(س) = 1 × جا س + س جتا س
ق(π/2) = 1 × 1 + 1 × صفر = 1
قاعدة (2) #
إذا كانت ق(س) = جتا س، والزاوية س بالتقدير الدائري، فإن: ق/(س) = – جا س.
مثال (2) #
قاعدة (3) #
إذا كانت ق(س) = ظا س، فإن: ق/(س) = قا2 س.
إذا كانت ق(س) = ظتا س، فإن: ق/(س) = – قتا2 س.
إذا كانت ق(س) = قا س، فإن: ق/(س) = – قا س ظا س.
إذا كانت ق(س) = قتا س، فإن: ق/(س) = – قتا س ظتا س.
فكر وناقش #
تحقق من صحة القواعد السابقة بالتعويض بدلالة جاس، جتاس، ثم باستخدام قواعد الاشتقاق.
يمكن التحقق بتطبيق القواعد وباستخدام خواص الاقترانات المثلثية التي تعلمتها في السنوات السابقة كما يلي:
بما أن ق(س) = ظا س = جاس / جتاس، وبالتالي فإن المشتقة هنا لحاصل قسمة اقترانين، فتكون:
ق/(س) = (جتاس جتاس – جاس × – جاس) / (جتاس)2 = ((جتاس)2 + (جاس)2) / (جتاس)2 = 1/ (جتاس)2 = قا2س.
مثال (3) #
الحل
بتطبيق قواعد وخواص الاقترانات المثلثية وعلاقتها ببعضها البعض.
مثال (4) #
الحل
حلول تمارين الكتاب على درس مشتقات الاقترانات المثلثية #
السؤال الأول #
الحل
السؤال الثاني #
الحل
بأخذ المشتقة الأولى:
ثم نقوم بأخذ المشتقة الثانية ولكن مع اعتبار أن ظا2س = ظاس × ظاس، لتطبيق قاعدة مشتقة حاصل ضرب اقترانين، وقاعدة مشتقة الاقتران ظاس = قا2س، فنحصل على:
السؤال الثالث #
الحل
بأخذ المشتقة الأولى ثم أخذ المشتقة الثانية وتطبيق قواعد الاشتقاق للاقترانات المثلثية ثم مع التبسيط والاختصار نحصل على:
السؤال الرابع #
الحل
بأخذ المشتقة الأولى ثم المشتقة الثانية وبتطبيق قواعد اشتقاق الاقترانات المثلثية، نحصل على:
