4. النظير الضربي للمصفوفة المربعة

تعريف النظير الضربي للمصفوفة

تسمى المصفوفة المربعة أ مصفوفة غير منفردةٍ إذا وُجدت مصفوفة مربعة ب من نفس الرتبة بحيث يكون أ × ب = ب × أ = المصفوفة المحايدة م، وتسمى المصفوفة ب النظير الضربي للمصفوفة أ، ونرمز لها بالرمز أ ^-١ونكتب ذلك كما يلي:

ب = أ ^-١

ويكون:

أ × ب = ب × أ = المصفوفة المحايدة م

مثال (1)

الحل

تعريف المصفوفة المنفردة

المصفوفة المنفردة هي المصفوفة المربعة التي لا يوجد لها نظير ضربي.

نظرية

المصفوفة أ منفردة إذا وفقط إذا كان | أ | = صفر.

خصائص النظير الضربي للمصفوفة

إذا كانت أ ، ب مصفوفتين مربعتين، وغير منفردتين، ومن نفس الرتبة، وكان ك عدد حقيقي ≠ ٠، فإن:

( أ ^{– ١} ) ^{– ١}= أ
( ك أ ) ^{– ١}= 1/ك × ( أ ^{– ١} )
( أ × ب ) ^{– ١}= ب ^{– ١}× أ^{– ١}

إيجاد النظير الضربي للمصفوفة

سوف نتعرف على طرق إيجاد النظير الضربي للمصفوفة المربعة، وستقتصر دراستنا على النظير الضربي للمصفوفات المربعة من الرتبة الثانية فقط.

مثال (2)

جد النظير الضربي للمصفوفة أ، حيث:

الحل

وبحل المعادلات الناتجة من تساوي المصفوفتين في الحالتين السابقتين، ينتج أن:

س = 2 ، ع = – 3 ، ص = -3/2 ، ل = 5/2

أي أن المعكوس الضربي يساوي:

تعميم

أي أن المعكوس الضربي أ ^{– ١} ينتج من ضرب المصفوفة أ بمقلوب محددها بعد تبديل أماكن مدخلات القطر الرئيسي وتغيير إشارة مدخلات القطر الآخر (الثانوي) من المصفوفة أ.