أولًا: قاعدة لوبيتال L’Hôpital’s Rule
إذا كان ق(س)، هـ(س) اقترانين قابلين للاشتقاق عند النقطة س = أ، وكانت ل ϶ ح، وكانت:
مثال (1):
الحل:
نشاط:
مثال (2):
الحل:
ملاحظة هامة:
مثال (3):
مثال (4):
الحل:
ثانيًا: مشتقة الاقتران الأسّي واللوغاريتمي
تعلمت سابقًا الاقتران الأسّي الذي يُكتب على الصورة ق(س) = أ س، حيث أ ≠ ١، أ < صفر.
كما تعلمت الاقتران اللوغاريتمي الذي يُكتب على الصورة:
ل(س)= لو أ س
حيث س > صفر، أ ≠ ١، أ > صفر.
وسوف نقتصر دراستنا على الاقتران الأسّي الطبيعي ق(س) = ه س، والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي:
ق(س) = لو ه س
حيث ه تسمى العدد النيبيري e.
تعريف العدد النيبيري
وفيما يلي بعض خصائص الاقترانين:
قاعدة (1): إذا كان ص = ه س، فإن لــــــوه ص = س، ص < صفر.
قاعدة (2): إذا كان ق(س) = ه س فإن ق/(س) = ه س
مثال (5): إذا كان ق(س) = س٣ ه س + قتا س فجد ق/(س).
الحل: تذكير: مشتقة س٣ ه س = (الأول × مشتقة الثاني + الثاني × مشتقة الأول)
إذن: المشتقة ق/(س) = (س٣ ه س + ٣ س٢ هس ) – قتاس ظتاس
قاعدة (3): إذا كان ق(س) = لـــــو ه س، س > صفر ، فإن ق/(س) = ١ / س.
مثال (6):
الحل:
مثال (7):
الحل:
مثال (8):
الحل:
حلول تمارين الكتاب على درس قاعدة لوبيتال ومشتقة الاقتران الأسي واللوغاريتمي
السؤال الأول:
الحل:
السؤال الثاني:
الحل:
السؤال الثالث:
الحل:
السؤال الرابع:
إذا كانت ص = س٢ + هس + ١، فجد قيمة/ قيم س التي تجعل ص/ = ص
الحل:
المطلوب هو إيجاد قيمة أو قيم س التي تجعل ص/ = ص
ولكن ص/ = 2 س هس
إذن المطلوب إيجاد قيمة أو قيم س التي تجعل:
2 س هس = س٢ + هس + ١
وبالتبسيط ينتج:
س٢ – 2 س + ١ = صفر
(س – 1)2 = صفر
وبحل المعادلة ينتج أن س = 1.
السؤال الخامس:
الحل:
بما أنه بالتعويض المباشر تنتج القيمة ضفر/صفر، إذن نقوم بتطبيق قاعدة لوبيتال:
السؤال السادس:
الحل:
بما أنه بالتعويض المباشر تنتج القيمة ضفر/صفر، إذن نقوم بتطبيق قاعدة لوبيتال:
السؤال السابع:
الحل:
بهدف التبسيط، نفرض أن 2 س = ع ومنها يكون س = ع/2
وعندما س تؤول إلى 1 فإن ع س تؤول إلى 2، وبالتعويض في المطلوب إيجاده، فتكون النهاية المطلوب إيجادها هي:
