2. العمليات على المصفوفات أولاً: جمع المصفوفات إذا كانت أ ، ب مصفوفتين من الرتبة م × ن، فإن حاصل جمعهما هو المصفوفة ج = أ + ب، وهي مصفوفة من الرتبة م × ن بحيث تكون مدخلاتها ناتجة من جمع المدخلات المتناظرة في كل من المصفوفتين أ، ب. أي أن: ج ي ه = […]
1. المصفوفات تعريف المصفوفة المصفوفة هي تنظيم مستطيل الشكل لمجموعة من الأعداد، على هيئة صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين [ ] ويرمز لها بأحد الأحرف أ، ب، …، وتسمى الأعداد داخل المصفوفة مدخلات. وتتحدد رتبة المصفوفة بعدد الصفوف وعدد الأعمدة فيها، على النحو التالي: م × ن حيث م يمثل عدد صفوفها، ن يمثل عدد
5. تطبيقات عملية على القيم القصوى تطبيقات في مجال الحساب والهندسة يمكن تطبيق نظريات وتعريفات القيم القصوى في حل المسائل الحسابية والهندسية لحساب أكبر أو أصغر عدد، أو لإيجاد أكبر أو أطول مسافة ممكنة، أو لحساب أكبر أو أقل مساحة أو حجم ممكن الحصول عليه من خلال توفير مجموعة من المعطيات في كل مسألة. وتتلخص
4. التقعّر ونقط الانعطاف تعريف التقعّر يُقال لمنحنى الاقتران ق(س) أنه مقعّر للأعلى في الفترة [أ، ب] إذا كان واقعًا فوق جميع مماساته في الفترة ]أ، ب[، ويُقال أنه مقعّر للأسفل في الفترة [أ، ب] إذا كان واقعًا تحت جميع مماساته في الفترة ]أ، ب[. اختبار التقعّر باستخدام المشتقة الثانية إذا كان ق(س) اقترانًا متصلًا
3. القيم القصوى تعريف القيم الصغرى والعظمى المحلية: ليكن ق)س) اقتران معرف على المجال ع، ولتكن جـ ϶ع، عندها يكون للاقتران ق(س): ملاحظة: تسمى كل من القيم العظمى والقيم الصغرى قيمًا قصوى، سواء أكانت محلية أو مطلقة. مثال (1) يمثل الشكل التالي منحنى الاقتران ق(س) في الفترة ع = [- 2، 2]. اعتمد عليه في
2. الاقترانات المتزايدة والمتناقصة تعريف التزايد والتناقص يكون منحنى الاقتران ق(س) المعرّف في الفترة [أ ، ب]، لكل س١، س٢ ϶ [أ ، ب]: مثال (1) في الشكل التالي، حدد الفترات التي يكون فيها منحنى الاقتران ق(س) متزايدًا، أو متناقصًا، أو ثابتًا. الحل يكون منحنى الاقتران ق(س) ثابتًا في الفترة [أ ، جـ]، ويكون متناقصًا
1. نظرية رول ونظرية القيمة المتوسطة أولًا: نظرية رول إذا كان ق (س) اقتران متصل في الفترة [أ ، ب]، وقابلاً للاشتقاق في ]أ ، ب[، وكان ق(أ) = ق(ب) فإنه يوجد عدد حقيقي واحد على الأقل جـ ϶ ]أ ، ب[ بحيث يكون عنده قَ(جـ) = صفر. مثال (1) بيّن أن الاقتران ق(س) =
مفهوم الاشتقاق الضمني يمكن إيجاد مشتقة أي اقتران ص = ق(س) عندما تكون العلاقة بين المتغيرين ص، س صريحة، ومحددة بشكل مباشر، وذلك عندما تكون ص معرّفة بدلالة س، مثل ص = 5 س2+1. ولكن، قد نكون العلاقة بين المتغيرين ص، س ضمنية وغير مباشرة، كما في العلاقة التالية: س ٢ + ٥ ص ٢
6. قاعدة السلسلة إذا كانت ص = ق(ع)، ع = ه(س(، وكان ه(س) قابلًا للاشتقاق، وكان ق(س) قابلًا للاشتقاق عند ه(س)، وكان مدى ه ⊇ مجال ق، فيكون: أي أن: مشتقة ص بالنسبة لـ س نساوي = مشتقة ص بالنسبة لـ ع × مشتقة ع بالنسبة لـ س أو بمعنى آخر: مشتقة دالة الدالة =
أولًا: تطبيقات هندسية تعريف ميل المنحنى إذا كان ق(س) اقتران قابل للاشتقاق عند النقطة أ (س١ ، ق(س1))، فإن ميل منحنى الاقتران ق(س) عند النقطة أ هو ميل المماس المرسوم لمنحنى هذا الاقتران عند تلك النقطة، وهو يساوي مشتقة الاقتران عند نفس النقطة، أي أنه يساوي = ق/(س1). ويعرف المستقيم العمودي على منحنى الاقتران، بأنه