تحليل المتجهات والنظام الإحداثي الديكارتي

الملخص

تحليل المتجهات والنظام الإحداثي الديكارتي، شرح مفهوم تحليل المتجهات في بعدين وثلاثة أبعاد بدلالة مكوناتها باستخدام متجهات الوحدة على طول المحاور. طرق تحديد مقدار المتجه بدلالة مكوناته، تحديد زاوية الاتجاه للمتجه في المستوى. العلاقة بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات الديكارتية في المستوى.

تحليل المتجهات والنظام الإحداثي الديكارتي

أهداف القسم:

بنهاية هذا القسم، سيكون القارئ قادرًا على:

• تحليل المتجهات في بعدين وثلاثة أبعاد بدلالة مكوناتها، باستخدام متجهات الوحدة على طول المحاور.
• التمييز بين مكونات المتجه والمكونات العددية للمتجه.
• شرح كيف يتم تحديد مقدار المتجه من حيث مكونات المتجه.
• تحديد زاوية الاتجاه للمتجه في المستوى.
• شرح العلاقة بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات الديكارتية في المستوى.

النظام الإحداثي الديكارتي

يتم تحليل المتجهات عادةً من حيث مكوناتها في نظام إحداثيات متعامدة. حتى في الحياة اليومية فإننا نستدعي بشكل طبيعي مفهوم الإسقاطات المتعامدة في نظام إحداثيات مستطيل. على سبيل المثال، إذا سألت شخصًا عن الاتجاهات إلى موقع معين، فمن المرجح أن يُطلب منك الذهاب 40 كم شرقًا و 30 كم شمالًا من 50 كم في الاتجاه 37 درجة شمال شرق.

في نظام الإحداثيات الديكارتي xy المستطيل في مستوى ما، يتم وصف نقطة في المستوى بزوج من الإحداثيات (x, y).

بطريقة مماثلة، يتم تحليل المتجه A⃗ في المستوى إلى زوج من إحداثيات المتجه. يُطلق على إحداثي x للمتجه A⃗ x المكون x الخاص بالمتجه، ويسمى إحداثي y للمتجه A⃗ المكون y الخاص به. المكوِّن المتجه x هو متجه يُشار إليه بـ A⃗ _x. المكوِّن المتجه y هو متجه يُشار إليه بـ A⃗ _y. في النظام الديكارتي، مكونات المتجه x و y للمتجه هي الإسقاطات المتعامدة لهذا المتجه على محوري x و y، على التوالي. بهذه الطريقة، باتباع قاعدة متوازي الأضلاع لجمع المتجهات، يمكن التعبير عن كل متجه على مستوى ديكارتي كمتجه المجموع لمكونات المتجه:

$$\overrightarrow{A}={\overrightarrow{A}}_x+{\overrightarrow{A}}_y.$$

(2.10)

كما هو موضح في الشكل 2.16، المتجه A⃗ هو قطري المستطيل حيث يكون المكون A⃗ _x هو الجانب الموازي للمحور x والمكون A⃗ _y هو الجانب الموازي للمحور y. مكون المتجه A⃗ _x متعامد مع مكون المتجه A⃗ _y.

الشكل 2.16: المتجه A⃗ في مستوى في نظام الإحداثيات الديكارتية هو مجموع متجه لمكوني المتجه x و y. المكون المتجه A⃗ _x هو الإسقاط المتعامد للمتجه A⃗ على المحور x. المكون المتجه A⃗ _y هو الإسقاط المتعامد للمتجه A⃗ على المحور y. الأرقام A_x و A_y التي تضرب في متجهات الوحدة هي المكونات العددية للمتجه.

تحليل المتحهات بدلالة متجهات الوحدة

من المعتاد الإشارة إلى الاتجاه الموجب على المحور x بواسطة متجه الوحدة i^ والاتجاه الموجب على المحور y بواسطة متجه الوحدة j^. متجهات الوحدة للمحاور، i^ و j^، تحدد اتجاهين متعامدين في المستوى. كما هو موضح في الشكل 2.16، يمكن الآن كتابة المكونين x و y للمتجه بدلالة متجهات الوحدة للمحاور:

$$\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{A}}_x=A_x\widehat{i}\\ {\overrightarrow{A}}_y=A_y\widehat{j}.\end{array}$$

(2.11)

المتجهات A⃗ _x و A⃗ _y المحددة بواسطة المعادلة 2.11 هي المكونات المتجهة للمتجه A⃗. الأرقام A_x و A_y التي تحدد مكونات المتجه في المعادلة 2.11 هي المكونات العددية للمتجه A⃗. بدمج المعادلة 2.10 مع المعادلة 2.11، نحصل على نموذج مكونات المتجه:

$$\overrightarrow{A}=A_x\widehat{i}+A_y\widehat{j}.$$

(2.12)

إذا علمنا إحداثيات نقطة الأصل للمتجه b(xb, yb) حيث يشير b إلى “البداية Begining” والإحداثيات e(xe, ye) إلى نقطة نهاية المتجه، حيث يشير e إلى “النهاية End”، يمكننا الحصول على المكونات العددية للمتجه ببساطة عن طريق طرح إحداثيات نقطة الأصل من إحداثيات نقطة النهاية:

$$\{\begin{array}{c}{A}_x=x_e-x_b\\ A_y=y_e-y_b.\end{array}$$

(2.13)

مثال1: إزاحة مؤشر الماوس

يوجد مؤشر الماوس على شاشة العرض لجهاز الحاسوب في موضعه الأولي عند النقطة (6.0 سم، 1.6 سم) بالنسبة إلى الركن الأيسر السفلي. إذا قمت بتحريك المؤشر إلى رمز يقع عند النقطة (2.0 سم ، 4.5 سم)، فما متجه إزاحة المؤشر؟

إستراتيجية الحل

أصل نظام الإحداثيات xy هو الزاوية اليسرى السفلية لشاشة الحاسوب. لذلك، فإن متجه الوحدة i^ على المحور x يشير أفقيًا إلى اليمين ومتجه الوحدة j^ على المحور y يشير إلى عموديًا إلى الأعلى. يقع أصل متجه الإزاحة عند النقطة ب (6.0 ، 1.6) وتقع نهاية متجه الإزاحة عند النقطة هـ (2.0 ، 4.5). عوض بإحداثيات هذه النقاط في المعادلة 2.13 لإيجاد المكونين القياسيين D_x و D_y لمتجه الإزاحة D⃗. أخيرًا، استبدل الإحداثيات في المعادلة 2.12 لكتابة متجه الإزاحة في شكل مكونات المتجه.

الحل

نحدد x_b = 6.0 و x_e = 2.0 و y_b = 1.6 و y_e = 4.5 حيث تكون الوحدة المادية 1 سم. المكونات العددية x و y لمتجه الإزاحة هي:

$$\begin{array}{cc}\hfill D_x& =x_e-x_b=(2.0-6.0)\text{cm}=\mathrm{-4.0}\text{cm},\hfill \\ \hfill D_y& =y_e-y_b=(4.5-1.6)\text{cm}=+2.9\text{cm}.\hfill \end{array}$$

شكل مكوّن المتجه لمتجه الإزاحة هو:

$$\overrightarrow{D}=D_x\widehat{i}+D_y\widehat{j}=(\mathrm{-4.0}\text{cm})\widehat{i}+(2.9\text{cm})\widehat{j}=(\mathrm{-4.0}\widehat{i}+2.9\widehat{j})\text{cm}.$$

(2.14)

يظهر هذا الحل في الشكل 2.17:

الشكل 2.17 الرسم البياني لمتجه الإزاحة. يشير المتجه من نقطة الأصل عند b إلى نقطة النهاية عند e.

الدلالة

لاحظ أن الوحدة المادية – هنا، 1 سم – يمكن وضعها إما مع كل مكون قبل متجه الوحدة مباشرة أو بشكل عام لكلا المكونين، كما في المعادلة 2.14. غالبًا ما تكون الطريقة الأخيرة أكثر ملاءمة لأنها أبسط.

المكون المتجه للمحور x هو: D⃗ x=−4.0iˆ=4.0(−iˆ) لمتجه الإزاحة له مقدار:

$\left|{\overrightarrow{D}}_x\right|=|-4.0|\left|\widehat{i}\right|=4.0$

لأن مقدار متجه الوحدة هو i ^ | = 1 |. لاحظ أيضًا أن اتجاه المكون x هو -i ^، وهو عكس اتجاه المحور x +؛ وبالتالي، يشير متجه المكون السيني D⃗_x إلى اليسار، كما هو موضح في الشكل 2.17. المكون السيني القياسي للمتجه D⃗هو D_x = −4.0.

وبالمثل، فإن المكون المتجه للمحورy هو D⃗_y = + 2.9^j^ لمتجه الإزاحة له مقدار:

$\left|{\overrightarrow{D}}_y\right|=\left|2.9\right|\left|\widehat{j}\right|=2.9$

لأن حجم متجه الوحدة هو j ^ | = 1 |. اتجاه المكون الصادي هو + j ^، وهو موازٍ لاتجاه المحور + y. لذلك، يشير متجه المكون y D → y لأعلى، كما هو موضح في الشكل 2.17. المكون y القياسي للمتجه D⃗ هو D_y = + 2.9. متجه الإزاحة D⃗ هو نتيجة مكوني المتجهين السيني والصادي.

يخبرنا شكل مكون المتجه لمعادلة متجه الإزاحة 2.14 أن مؤشر الماوس قد تم تحريكه على الشاشة بمقدار 4.0 سم إلى اليسار و2.9 سم لأعلى من موضعه الأولي.

تحقق من فهمك

ذبابة زرقاء تهبط على ورقة من ورق الرسم البياني عند نقطة تقع 10.0 سم على يمين حافتها اليسرى و8.0 سم فوق الحافة السفلية لها وتمشي ببطء إلى نقطة تقع على بعد 5.0 سم من الحافة اليسرى و5.0 سم من الحافة السفلية. اختر نظام الإحداثيات المستطيل مع الأصل في الزاوية السفلية اليسرى للورقة وابحث عن متجه الإزاحة للذبابة. وضح الحل الخاص بك عن طريق الرسوم البيانية.

مقدار المتجه وزاوية الاتجاه

عندما نعرف المركبين أو المكونين العدديين A_x و A_y للمتجه A⃗ باستخدام أسلوب تحليل المتجهات، يمكننا إيجاد مقداره A وزاوية اتجاهه θ_A. زاوية الاتجاه – أو الاتجاه باختصار – هي الزاوية التي يشكلها المتجه مع الاتجاه الموجب على المحور x.

يتم قياس الزاوية θ_A في اتجاه عكس عقارب الساعة من محور x الموجب إلى المتجه (الشكل 2.18). نظرًا لأن الأطوال A و A_x و A_y تشكل مثلثًا قائمًا، فهي مرتبطة بنظرية فيثاغورس:

$$A^2=A_x^2+A_y^2\iff A=\sqrt{A_x^2+A_y^2}.$$

(2.15)

تعمل هذه المعادلة حتى لو كانت المكونات أو المركبات العددية للمتجه سالبة. يتم تحديد زاوية الاتجاه θ_A للمتجه من خلال دالة الظل للزاوية θ_A في المثلث الموضح في الشكل 2.18:

$$\text{tan}\theta =\frac{A_y}{A_x}$$

(2.16)

شكل زاوية المتجه

الشكل 2.18: عندما يقع المتجه إما في الربع الأول أو في الربع الرابع، حيث يكون المكون A_x موجبًا (الشكل 2.19)، تكون زاوية الاتجاه θ_A في المعادلة 2.16 مطابقة للزاوية θ

عندما يقع المتجه إما في الربع الأول أو في الربع الرابع، حيث يكون المكون A_x موجبًا (الشكل 2.19)، تكون الزاوية θ في المعادلة 2.16 مطابقة لزاوية الاتجاه θ_A. بالنسبة للمتجهات في الربع الرابع، تكون الزاوية سالبة، مما يعني أنه بالنسبة لهذه المتجهات، يتم قياس زاوية الاتجاه θ_A في اتجاه عقارب الساعة من المحور x الموجب. وبالمثل، بالنسبة للمتجهات في الربع الثاني، تكون الزاوية θ سالبة. عندما يقع المتجه في الربع الثاني أو الثالث، حيث يكون المحور المكون سالبًا، تكون زاوية الاتجاه θ_A = θ + 180 (الشكل 2.19).

الشكل 2.19: قد تكون المكونات القياسية للمتجه موجبة أو سالبة. المتجهات في الربع الأول (I) لها كلا المكونين القياسيين أو المركبين القياسيين موجبين والمتجهات في الربع الثالث لها كلا المكونين القياسيين سالبين. بالنسبة إلى المتجهات في الربعين الثاني والثالث، تكون زاوية اتجاه المتجه θ_A = θ + 180 °.

مثال2: مقدار واتجاه متجه الإزاحة

يمكنك تحريك مؤشر الماوس على شاشة العرض من موضعه الأولي عند النقطة (6.0 سم، 1.6 سم) إلى رمز موجود عند النقطة (2.0 سم، 4.5 سم). ما مقدار واتجاه متجه إزاحة المؤشر؟

إستراتيجية الحل

في المثال السابق، وجدنا متجه الإزاحة D⃗ لمؤشر الماوس (انظر المعادلة 2.14)، وحددنا مكوناته العددية D_x = −4.0 cm و D_y = + 2.9 cm واستبدله في المعادلة 2.15 والمعادلة 2.16 لإيج