التفاضل والتكامل

4. التقعّر ونقط الانعطاف تعريف التقعّر يُقال لمنحنى الاقتران ق(س) أنه مقعّر للأعلى في الفترة [أ، ب] إذا كان واقعًا فوق جميع مماساته في الفترة ]أ، ب[، ويُقال أنه مقعّر للأسفل في الفترة [أ، ب] إذا كان واقعًا تحت جميع مماساته في الفترة ]أ، ب[. اختبار التقعّر باستخدام المشتقة الثانية إذا كان ق(س) اقترانًا متصلًا […]

3. القيم القصوى تعريف القيم الصغرى والعظمى المحلية: ليكن ق)س) اقتران معرف على المجال ع، ولتكن جـ ϶ع، عندها يكون للاقتران ق(س): ملاحظة: تسمى كل من القيم العظمى والقيم الصغرى قيمًا قصوى، سواء أكانت محلية أو مطلقة. مثال (1) يمثل الشكل التالي منحنى الاقتران ق(س) في الفترة ع = [- 2، 2]. اعتمد عليه في

2. الاقترانات المتزايدة والمتناقصة تعريف التزايد والتناقص يكون منحنى الاقتران ق(س) المعرّف في الفترة [أ ، ب]، لكل س١، س٢ ϶ [أ ، ب]: مثال (1) في الشكل التالي، حدد الفترات التي يكون فيها منحنى الاقتران ق(س) متزايدًا، أو متناقصًا، أو ثابتًا. الحل يكون منحنى الاقتران ق(س) ثابتًا في الفترة [أ ، جـ]، ويكون متناقصًا

1. نظرية رول ونظرية القيمة المتوسطة أولًا: نظرية رول إذا كان ق (س) اقتران متصل في الفترة [أ ، ب]، وقابلاً للاشتقاق في ]أ ، ب[، وكان ق(أ) = ق(ب) فإنه يوجد عدد حقيقي واحد على الأقل جـ ϶ ]أ ، ب[ بحيث يكون عنده قَ(جـ) = صفر. مثال (1) بيّن أن الاقتران ق(س) =

مفهوم الاشتقاق الضمني يمكن إيجاد مشتقة أي اقتران ص = ق(س) عندما تكون العلاقة بين المتغيرين ص، س صريحة، ومحددة بشكل مباشر، وذلك عندما تكون ص معرّفة بدلالة س، مثل ص = 5 س2+1. ولكن، قد نكون العلاقة بين المتغيرين ص، س ضمنية وغير مباشرة، كما في العلاقة التالية: س ٢ + ٥ ص ٢

6. قاعدة السلسلة إذا كانت ص = ق(ع)، ع = ه(س(، وكان ه(س) قابلًا للاشتقاق، وكان ق(س) قابلًا للاشتقاق عند ه(س)، وكان مدى ه ⊇ مجال ق، فيكون: أي أن: مشتقة ص بالنسبة لـ س نساوي = مشتقة ص بالنسبة لـ ع × مشتقة ع بالنسبة لـ س أو بمعنى آخر: مشتقة دالة الدالة =

أولًا: تطبيقات هندسية تعريف ميل المنحنى إذا كان ق(س) اقتران قابل للاشتقاق عند النقطة أ (س١ ، ق(س1))، فإن ميل منحنى الاقتران ق(س) عند النقطة أ هو ميل المماس المرسوم لمنحنى هذا الاقتران عند تلك النقطة، وهو يساوي مشتقة الاقتران عند نفس النقطة، أي أنه يساوي = ق/(س1). ويعرف المستقيم العمودي على منحنى الاقتران، بأنه

قاعدة لوبيتال ومشتقة الاقتران الأسّي واللوغاريتمي أولًا: قاعدة لوبيتال L’Hôpital’s Rule إذا كان ق(س)، هـ(س) اقترانين قابلين للاشتقاق عند النقطة س = أ، وكانت ل ϶ ح، وكانت: مثال (1) الحل نشاط مثال (2) الحل ملاحظة هامة مثال (3) مثال (4) الحل ثانيًا: مشتقة الاقتران الأسّي واللوغاريتمي تعلمت سابقًا الاقتران الأسّي الذي يُكتب على الصورة

مشتقات الاقترانات المثلثية يمكن تعريف مشتقات الاقترانات المثلثية أو مشتقات الدوال المثلثية من خلال القواعد التالية: قاعدة (1) إذا كانت ق(س) = جا س، والزاوية س بالتقدير الدائري، فإن: ق/(س) = جتا س. مثال (1) إذا كان ق(س) = س جا س، جد ق/(π/2) الحل قَ(س) = 1 × جا س + س جتا س

قواعد الاشتقاق نشاط 1 في أحد المصانع الإنتاجية يوجد خطين للإنتاج، الخط الأول ينتج عدد من عبوات الألبان تتحدد وفق الاقتران ق(ن) = ن2 + ن. والخط الثاني ينتج عدد من العبوات يتحدد وفقَ الاقتران ه(ن) = ن2 + 2ن، حيث ن زمن تشغيل خط الإنتاج بالساعات. الحل معدل التغير في إنتاج الخط الأول من