4. النظير الضربي للمصفوفة المربعة

4. النظير الضربي للمصفوفة المربعة #

تعريف النظير الضربي للمصفوفة #

تسمى المصفوفة المربعة أ مصفوفة غير منفردةٍ إذا وُجدت مصفوفة مربعة ب من نفس الرتبة بحيث يكون أ × ب = ب × أ = المصفوفة المحايدة م، وتسمى المصفوفة ب النظير الضربي للمصفوفة أ، ونرمز لها بالرمز أ ^-١ ونكتب ذلك كما يلي:

ب = أ ^-١

ويكون:

أ × ب = ب × أ = المصفوفة المحايدة م

مثال (1) #

الحل

تعريف المصفوفة المنفردة #

المصفوفة المنفردة هي المصفوفة المربعة التي لا يوجد لها نظير ضربي.

نظرية #

المصفوفة أ منفردة إذا وفقط إذا كان | أ | = صفر.

خصائص النظير الضربي للمصفوفة #

إذا كانت أ ، ب مصفوفتين مربعتين، وغير منفردتين، ومن نفس الرتبة، وكان ك عدد حقيقي ≠ ٠، فإن:

1. ( أ ^{– ١} ) ^{– ١} = أ
2. ( ك أ ) ^{– ١} = 1/ك × ( أ ^{– ١} )
3. ( أ × ب ) ^{– ١} = ب ^{– ١} × أ ^{– ١}

إيجاد النظير الضربي للمصفوفة #

سوف نتعرف على طرق إيجاد النظير الضربي للمصفوفة المربعة، وستقتصر دراستنا على النظير الضربي للمصفوفات المربعة من الرتبة الثانية فقط.

مثال (2) #

جد النظير الضربي للمصفوفة أ،  حيث:

الحل

وبحل المعادلات الناتجة من تساوي المصفوفتين في الحالتين السابقتين، ينتج أن:

س = 2 ، ع = – 3 ، ص = -3/2 ، ل = 5/2

أي أن المعكوس الضربي يساوي:

تعميم #

أي أن المعكوس الضربي أ ^{– ١} ينتج من ضرب المصفوفة أ بمقلوب محددها بعد تبديل أماكن مدخلات القطر الرئيسي وتغيير إشارة مدخلات القطر الآخر (الثانوي) من المصفوفة أ.

مثال (3) #

الحل

| س | = – 2 – 6 = – 8

إذن يوجد نظير ضربي للمصفوفة س. وهو كما يلي: