2. قواعد الاشتقاق

2. قواعد الاشتقاق #

تعلمت في الدرس السابق مفهوم متوسط التغير للاقتران ص = ق (س)، عندما تتغير س من س₁ إلى س₁ + ∆س وكان:

وإذا أخذنا نهاية الدالة:

وكانت هذه النهاية موجودة فإننا نسميها معدل التغير للاقتران ق (س) عند س₁، أو المشتقة الأولى للاقتران ق (س) عند س = س₁، ونقول أن ق (س) قابل للاشتقاق عند س = س₁، أي كلما اقتربت س من س₁ (أو كلما اقتربت ∆س من الصفر) فإن متوسط تغير الاقتران (ميل القاطع الذي يمر بنقطتين مختلفتين) يؤول إلى معدل تغير الاقتران ق (س) عند نقطة س = س₁ (ميل المماس الذي يمر بنقطة واحدة س₁)، كما يظهر بالشكل التالي:

تعريف المشتقة الأولى #

إذا كانت ص = ق (س) هي اقتران معرف عند س₁ في مجاله، والنهاية:

كانت موجودة، فإن هذه النهاية تُسمى المشتقة الأولى للاقتران ق (س) عند س₁،ونرمز لها بأحد الرموز الآتية: قَ (س₁)، أو صَ | _{س = س1} ، أو بالرمز: دص/دس | _{س = س1}

ويمكن كتابتها على النحو التالي:

تعريف المشتقة اليُمنى والمشتقة اليُسرى #

ليكن الاقتران ق (س) معرفًا عندما س = س₁، فيكون:

وعندما ق^/ (س₁)⁺ = ق^/ (س₁)^– = ل فإن الاقتران ق (س) قابل للاشتقاق عند س₁ ويكون:

ق^/ (س₁) = ل

تعريف قابلية الاشتقاق #

• إذا كان الاقتران ق (س) معرفًا على الفترة ]أ، ب[، فإن ق (س) غير قابل للاشتقاق عند أطراف الفترة ]أ، ب[، أي أنه غير قابل للاشتقاق عند س = أ وعند س = ب.
• يكون ق (س) قابلاً للاشتقاق عند الفترة [أ، ب] إذا كان قابلاً للاشتقاق عند كل نقطة فيها.

قاعدة الاشتقاق (1) #

إذا كان ق (س) = جـ حيث جـ عدد حقيقي (جـ ϶ ح)، فإن ق^/(س) = صفر لجميع قيم س ϶ ح.

مثلاً:

إذا كان ق(س) = 5 فإن ق^/(س) = صفر

وإذا كان ق(س) جتا π فإن ق^/(س) = صفر

قاعدة الاشتقاق (2) #

إذا كان ق (س) = س، فإن ق^/(س) = 1 لجميع قيم س ϶ ح.

قاعدة الاشتقاق (3) #

إذا كان ق (س) اقتران قابل للاشتقاق، وكان جـ عدد حقيقي (جـ ϶ ح)، فإن ك(س) = جـ × ق(س) قابل للاشتقاق أيضًا ويكون كَ (س) = جـ × ق^/(س).

(مشتقة عدد في اقتران = العدد في مشتقة الاقتران).

مثلاً: إذا كان ق(س) = 5 س فإن ق^/(س) = 5 س^{1 – 1} = 5 س ^صفر = 5 × 1 = 5

قاعدة الاشتقاق (4) #

إذا كان ق(س)، هـ(س) اقترانين قابلين للاشتقاق، فإن ك(س) = ق(س)  هـ(س) قابل للاشتقاق أيضًا ويكون ك^/(س) = ق^/(س)  هـ^/(س).

(مشتقة حاصل مجموع أو طرح اقترانين = مجموع أو طرح مشتقتي الاقترانين).

مع ملاحظة أن هذه القاعدة يمكن أن تنطبق على أكثر من اقترانين أيضًا.

مثال (1) #

إذا كان لدينا قَ (1) = 5، كَ (1) = -3، وكان ل (س) = 2 س + ق (س) – 3 ك (س)، جد ل^/(1).

الحل

بأخذ المشتقة للاقتران ل(س):

ل^/(س) = 2 + ق^/(س) – 3 ك^/(س)

بالتعويض عن س = 1:

ل^/ (1) = 2 + ق^/ (1) – 3 ك^/ (1)

ل^/ (1) = 2 + 5 – (3 × -3) = 16

قاعدة الاشتقاق (5) #

إذا كان ق(س)، هـ(س) اقترانين قابلين للاشتقاق، فإن ك(س) = ق(س) × هـ(س) قابل للاشتقاق أيضًا ويكون ك^/(س) = ق(س) × هـ^/(س) + هـ(س) × ق^/(س)

(مشتقة حاصل ضرب اقترانين = الأول × مشتقة الثاني + الثاني × مشتقة الأول).

مثال (2) #

إذا كان ق(س) = (5س – 1) (2 – س). جد ق^/(س) ثم ق^/(-1).

الحل

ق^/(س) = (5س – 1) × (-1) + (2 – س) × 5 = – 5س + 1 + 10 – 5س = 11 – 10 س

ويكون: قَ(-1) = 11 + 10 = 21

نظرية (1) #

إذا كان ق(س) = س ^ن ، فإن ق^/(س) = ن × س ^{ن – 1} ، ن  1، ن ϶ ص ⁺، (الأعداد الصحيحة الموجبة فقط).

مثال (3) #

إذا كان ق(س) = س ³ – 2 س + 5 ، جد ق^/(س) ثم ق^/(-2).

الحل

ق^/(س) = 3 س ² – 2

ق^/(2) = 3 × (-2) ² – 2 = 10

قاعدة الاشتقاق (6) #

إذا كان ق(س)، هـ(س) اقترانين قابلين للاشتقاق، فإن ك(س) = ق(س)/ه(س) حيث هـ(س)  صفر، قابل للاشتقاق أيضًا ويكون ك^/(س) = ]هـ(س) × ق^/(س) + ق(س) × هـ^/(س)[ ÷ (هـ(س))².

(مشتقة حاصل قسمة اقترانين = (المقام × مشتقة البسط + البسط × مشتقة المقام) / المقام تربيع).

نتيجة (1) #

إذا كان ق(س) = س^ن ، فإن ق^/ (س) = ن × س ^{ن – 1} ، ن  1 ، ن ϶ ص. (الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة).

مثال (4) #

العلاقة بين اتصال الاقتران وقابليته للاشتقاق #

في جميع الأمثلة السابقة كان الاقتران المطلوب إيجاد المشتقة له اقتران متصل، أي أنه معرّف على جميع قيم س التي تنتمي لمجموعة للأعداد الحقيقية ح.

وبشكل عام فإنه إذا كان ق(س) كثير حدود فإن ق(س) قابل للاشتقاق. (لأنه يكون متصل بطبيعته وكل قيمه معرّفة).

ولكن هناك حالات خاصة يكون فيها الاقتران غير معرّف عند قيم معينة، وبالتالي فإنه يكون اقتران غير متصل ولا يمكن بالتالي إيجاد المشتقة له.

لذلك فإنه من الضروري عند إيجاد المشتقة للاقتران باستخدام قواعد الاشتقاق أن نقوم ببحث اتصال الاقتران أولاً.

نظرية (2) #

يكون ق(س) قابلاً للاشتقاق عند س = س₁، إذا وإذا فقط كان ق(س) متصلاً عند س₁ وكان: ق^/(س₁)⁺ = ق^/(س1).

مثال (5) #

المشتقات العليا Higher Derivatives #

المشتقات العليا هي المشتقات الناتجة عن تكرار الاشتقاق بعد الحصول على المشتقة الأولى.

مثلاً إذا مان لدينا الاقتران ص = ق(س) وكان هذا الاقتران قابل للاشتقاق فإن مشتقته الأولى هي: ص^/ = دص/دس = ق^/(س) تمثل اقترانًا جديدًا، وإذا كان هذا الاقتران الجديد (المشتقة الأولى) قابلة للاشتقاق فإن مشتقتها تسمى المشتقة الثانية للاقتران الأصلي، ويُرمز لها بالرمز ص^// أو ق^//(س) أو د²ص/دس² (وتُقرأ دال اثنين ص دال س تربيع)، وهكذا بالنسبة للمشتقات الأعلى الثالثة والرابعة. ونُعبر عن المشتقة من الرتبة ن بإحدى الصور الآتية:

لاحظ الفرق بين كل من:

مثال (6) #

إذا كانت ق(س) = س ⁵ + 4 س ³ – 1 ، جد ق⁽⁵⁾ (س) ثم جد ق⁽⁴⁾ (2)

ق^/(س) = 5 س ⁴ + 3 × 4 س ² – صفر = 5 س ⁴ + 12 س ²

ق^//(س) = 4 × 5 س ³ + 2 × 12 س = 20 س ³ + 24 س

ق⁽³⁾ (س) = 3 × 20 س ² + 24 = 60 س ² + 24

ق⁽⁴⁾ (س) = 2 × 60 س + صفر = 120 س

ق ⁽⁵⁾ (س) = 120

بالتعويض عن س = 2، يكون: ق⁽⁴⁾ (2) = 120 × 2 = 240