5. تطبيقات هندسية وفيزيائية

أولًا: تطبيقات هندسية #

تعريف ميل المنحنى #

إذا كان ق(س) اقتران قابل للاشتقاق عند النقطة أ (س_١ ، ق(س₁))، فإن ميل منحنى الاقتران ق(س) عند النقطة أ هو ميل المماس المرسوم لمنحنى هذا الاقتران عند تلك النقطة، وهو يساوي مشتقة الاقتران عند نفس النقطة، أي أنه يساوي = ق^/(س₁).

ويعرف المستقيم العمودي على منحنى الاقتران، بأنه المستقيم العمودي على المماس للمنحنى عند نقطة التماس.

مثال (1) #

جد ميل منحنى الاقتران ق(س) = س ^٣ + ٥ س عند س = ١، ثم جد معادلتي المماس والعمودي على المماس عند تلك النقطة.

الحل

من التعريف، يكون ميل منحنى الاقتران ق(س) عند س = ١ يساوي ميل المماس = ق^/(1).

المشتقة ق^/(س) = ٣س ^٢ + ٥، ومنها ق^/(1) = 8 = ميل المماس.

لكن نقطة التماس هي (١، ق(1)) = (١، ٦(

وبمعرفة ميل المماس ونقطة التماس، يمكن إيجاد معادلة المماس، حيث يكون لدينا:

ص – ص ₁ = م (س – س ₁(

أي: ص – ٦ = ٨ × (س – ١)، ومنها يكون: ص = ٨ س – ٢

ميل العمودي على المماس = – 1 / ميل المماس

وبالمثل، يمكن إيجاد معادلة العمودي على المماس:

ص – ص ₁ = م (س – س ₁(، وبالتعويض تكون معادلة العمودي على المماس هي:

٨ص + س – ٤٩ = ٠

ثانيًا: تطبيقات فيزيائية #

السرعة المتوسطة #

لتكن (و) نقطة على المستقيم ل وتحرك جسم عليه بحيث كانت ف تمثل بعد الجسم عن النقطة (و) بعد ن ثانية فإنه يكون:

السرعة المتوسطة في الفترة ]ن _١ ، ن _٢[ تساوي:

السرعة اللحظية والتسارع اللحظي #

بما أن السرعة اللحظية هي معدل تغير المسافة بالنسبة للزمن، فإنه يمكن تعريف السرعة اللحظية بأنها مشتقة المسافة بالنسبة للزمن.

وبما أن التسارع اللحظي هو معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن، فإنه يمكن تعريف التسارع اللحظي بأنه مشتقة السرعة بالنسبة للزمن، أي أنه يساوي مشتقة (مشتقة المسافة بالنسبة للزمن)، أو المشتقة الثانية للمسافة بالنسبة للزمن. ويمكن التعبير رياضيًا عن ذلك كما يلي:

مثال (2) #

تحرك جسم على خط مستقيم، بحيث إن بعده عن نقطة ثابتة (و) يتحدد بالعلاقة: ف = ن ^٣ – ٩ن ^٢ + ٧ حيث ف المسافة بالأمتار، ن الزمن بالثواني، جد:

1. السرعة المتوسطة للجسم في الفترة [١ ، ٣].
2. تسارع الجسم عندما يعكس الجسم من اتجاه حركته.

الحل

لدينا: ف = ن ^٣ – ٩ن ٢ + ٧

1. السرعة المتوسطة تساوي:

2. السرعة اللحظية = مشتقة المسافة بالنسبة للزمن، أي أن:

ع (ن) = ف^/(ن) = ٣ ن ^٢ – ١٨ ن

يعكس الجسم اتجاه حركته في اللحظة التي تتغير فيها إشارة ع (من موجب إلى سالب أو العكس)، وتكون السرعة اللحظية عندها تساوي صفر، ع(ن) = صفر، أي عندما يكون:

٣ن ^٢ – ١٨ ن = صفر أي 3 ن (ن- 6) = صفر، ومنها ن = صفر أو ن = 6.

أي أنه يعكس الجسم اتجاه حركته بعد 6 ثوانٍ من بدء الحركة.

ويكون التسارع يساوي مشتقة السرعة كما يلي:

التسارع ت(ن) = ع^/(ن) = ف^//(ن) = ٦ن – ١٨

وبالتعويض عن ن = 6، نحصل على:

ت(6) = ٦ × ٦ – ١٨ = ١٨ متر/ثانية².

مثال (3) #

قُذف جسم رأسيًا إلى أعلى من نقطة على سطح الأرض، بحيث يتحدد بُعده عن سطح الأرض بالعلاقة ف(ن) = ٢٠ ن – ٥ ن ^٢، حيث ف: ارتفاع الجسم بالأمتار، ن: الزمن بالثواني، جد:

1. أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم.
2. سرعة الجسم وهو على ارتفاع 15 متر من سطح الأرض.
3. المسافة التي يقطعها الجسم خلال الثواني الأربعة الأولى.

الحل:

ف(ن) = ٢٠ ن – ٥ ن ^٢

• عندما يصل الجسم إلى أقصى ارتفاع تكون سرعته حينها مساوية صفر، ع(ن) = صفر.

أي أنه بأخذ مشتقة المسافة ف^/(ن) = ع(ن) = ٢٠ – ١٠ ن = صفر، ومنها ن = ٢ ثانية.

أي أن الجسم يصل إلى أقصى ارتفاع بعد ثانيتين، ويكون هذا الارتفاع هو المسافة التي قطعها الجسم خلال ثانيتين، ويتم حسابها بالتعويض عن ن = 2 في معادلة المسافة كما يلي:

أقصى ارتفاع = ف (2) = ٢٠ × 2 – ٥ × 4 = ٢٠ متر.

• عندما يكون الجسم على ارتفاع 15 متر من سطح الأرض، فإن ف(ن) = ١٥، وبالتعويض عن ذلك في معادلة المسافة:

ف(ن) = ٢٠ ن – ٥ن ^٢ = ١٥، أي أن:

٥ ن ^٢ – ٢٠ ن + ١٥ = صفر، ومنها يكون:

(ن – ١) × (ن – ٣) = صفر، ومنها يكون: ن = ١، ن = ٣.

أي أن الجسم يكون على ارتفاع ١٥ متر في اللحظة التي تكون فيها: ن = ١، ن = ٣. وتفسير ذلك أن الجسم يكون عند هذا الارتفاع في حالتين أثناء الصعود وأثناء الهبوط.

ويمكن حساب السرعة اللحظية للجسم في الحالتين كما يلي:

السرعة اللحظية ع (ن) = مشتقة المسافة بالنسبة للزمن = ف^/(ن) = 20 – 10 ن

عندما ن = ١ تكون السرعة ع(١) = ٢٠ – ١٠×1 = ١٠ متر/ثانية، عندما يكون الجسم صاعدًا.

عندما ن = ٣ تكون السرعة ع(3) = ٢٠ – ١٠×3 = – ١٠ متر/ثانية، والإشارة السالبة للسرعة هنا تعني أن اتجاه الحركة هو عكس اتجاه الحركة الأصلي الصاعد، أي أن الجسم يكون هابطًا.

• عندما تكون ن = ٤ ثانية يكون الجسم على ارتفاع:

ف (4) = ٢٠ × 4 – ٥ × 16  = صفر.

وهذا يعني أن الجسم عندها يكون قد وصل إلى سطح الأرض. وبالتالي تكون المسافة المقطوعة عندها تساوي ضعف مسافة أقصى ارتفاع وصل إليه الجسم، أي أن  ف = ٢ × أقصى ارتفاع = 2 × 20 = ٤٠ متر.