قاعدة لوبيتال ومشتقة الاقتران الأسّي واللوغاريتمي #
أولًا: قاعدة لوبيتال L’Hôpital’s Rule #
إذا كان ق(س)، هـ(س) اقترانين قابلين للاشتقاق عند النقطة س = أ، وكانت ل ϶ ح، وكانت:
مثال (1) #
الحل
نشاط #
مثال (2) #
الحل
ملاحظة هامة #
مثال (3) #
مثال (4) #
الحل
ثانيًا: مشتقة الاقتران الأسّي واللوغاريتمي #
تعلمت سابقًا الاقتران الأسّي الذي يُكتب على الصورة ق(س) = أ س، حيث أ ≠ ١، أ < صفر.
كما تعلمت الاقتران اللوغاريتمي الذي يُكتب على الصورة:
ل(س)= لو أ س
حيث س > صفر، أ ≠ ١، أ > صفر.
وسوف نقتصر دراستنا على الاقتران الأسّي الطبيعي ق(س) = ه س، والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي:
ق(س) = لو ه س
حيث ه تسمى العدد النيبيري e.
تعريف العدد النيبيري #
وفيما يلي بعض خصائص الاقترانين:
قاعدة (1) #
إذا كان ص = ه س، فإن لــــــوه ص = س، ص < صفر.
قاعدة (2) #
إذا كان ق(س) = ه س فإن ق/(س) = ه س
مثال (5) #
إذا كان ق(س) = س٣ ه س + قتا س فجد ق/(س).
الحل
تذكير: مشتقة س٣ ه س = (الأول × مشتقة الثاني + الثاني × مشتقة الأول)
إذن: المشتقة ق/(س) = (س٣ ه س + ٣ س٢ هس ) – قتاس ظتاس
قاعدة (3) #
إذا كان ق(س) = لـــــو ه س، س > صفر ، فإن ق/(س) = ١ / س.
مثال (6) #
الحل
مثال (7) #
الحل
مثال (8) #
الحل
حلول تمارين الكتاب على درس قاعدة لوبيتال ومشتقة الاقتران الأسي واللوغاريتمي #
السؤال الأول #
الحل
السؤال الثاني #
الحل
السؤال الثالث #
الحل
السؤال الرابع #
إذا كانت ص = س٢ + هس + ١، فجد قيمة/ قيم س التي تجعل ص/ = ص
الحل
المطلوب هو إيجاد قيمة أو قيم س التي تجعل ص/ = ص
ولكن ص/ = 2 س هس
إذن المطلوب إيجاد قيمة أو قيم س التي تجعل:
2 س هس = س٢ + هس + ١
وبالتبسيط ينتج:
س٢ – 2 س + ١ = صفر
(س – 1)2 = صفر
وبحل المعادلة ينتج أن س = 1.
السؤال الخامس #
الحل
بما أنه بالتعويض المباشر تنتج القيمة ضفر/صفر، إذن نقوم بتطبيق قاعدة لوبيتال:
السؤال السادس #
الحل
بما أنه بالتعويض المباشر تنتج القيمة ضفر/صفر، إذن نقوم بتطبيق قاعدة لوبيتال:
السؤال السابع #
الحل
بهدف التبسيط، نفرض أن 2 س = ع ومنها يكون س = ع/2
وعندما س تؤول إلى 1 فإن ع س تؤول إلى 2، وبالتعويض في المطلوب إيجاده، فتكون النهاية المطلوب إيجادها هي:
