الرئيسية » المراجع العلمية » الرياضيات المالية » الفائدة البسيطة وجملة مبلغ بفائدة بسيطة

الفائدة البسيطة وجملة مبلغ بفائدة بسيطة

الفائدة البسيطة وجملة مبلغ بفائدة بسيطة

آخر تحديث: مايو 19, 2022

الملخص

شرح وتبسيط مفهوم الفائدة البسيطة وطرق حسابها، السنة البسيطة والكبيسة، مع التوضيح بالأمثلة التطبيقية المتنوعة. جملة مبلغ بفائدة بسيطة، الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة والعلاقة الرياضية بينهما والفرق الحسابي بينهما، حساب المدة بين تاريخين.

تعريف الفائدة البسيطة

يمكن تعريف الفائدة البسيطة بأنها العائد الذي يحصل عليه المستثمر نتيجة استخدام أمواله خلال فترة أو مدة زمنية معينة. فإذا أودع شخص مبلغًا من المال في أحد البنوك لمدة معينة وبمعدل فائدة متفق عليه، فإنه يحصل من البنك في نهاية مدة الاستثمار على المبلغ الذي أودعه بالإضافة إلى الفائدة المستحقة له من استثمار هذا المبلغ لدى البنك.

كذلك فإن الفائدة هي الأجر الذي يدفعه المدين إلى دائنة نتيجة استخدامه أموال دائنة في نهاية مدة زمنية معينة، فإذا اقترض شخص مبلغًا من المال من أحد البنوك لمدة معينة وبمعدل فائدة تم الاتفاق عليه، فانه يدفع إلى البنك في نهاية مدة القرض المبلغ الذي اقترضه بالإضافة إلى الفائدة المُستحقة عليه من اقتراض هذا المبلغ من البنك.

وبالتالي يمكن القول بأن قيمة الفائدة المستحقة عن استثمار مبلغ ما تتوقف على العوامل التالية:

  1. المبلغ أو الأصل المستثمر، ويُرمز له بالرمز (م)
  2. معدل الفائدة ويُرمز له بالرمز (ع)
  3. مدة الاستثمار، ويُرمز له بالرمز (ن)
  4. مقدار الفائدة البسيطة وُيرمز لها بالرمز (ف)

ويتم حساب الفائدة البسيطة فى العمليات المالية قصيرة الأجل والتي تكون فيها مدة الاستثمار غالبًا اقل من سنتين.

وسوف يتم شرح كيفية إيجاد كل من الفائدة البسيطة، الجملة، الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة بالتفصيل.

حساب الفائدة البسيطة

يمكن حساب مقدار الفائدة المستحقة على مبلغ ما ولمدة زمنية معينة ولمعدل متفق عليه من خلال استخدام الصيغة التالية:

الفائدة = أصل المبلغ × معدل الفائدة × المدة

أو باستخدام الرموز الرياضية:

ف = م × ع × ن

والصيغة السابقة تتضمن أربع متغيرات. ويمكن إيجاد أحد هذه المتغيرات بمعلومية المتغيرات الثلاثة الأخرى، بحسب قواعد الرياضيات الأساسية، أي أن:

م = ف ÷ (ع × ن)

ع = ف ÷ (م × ن)

ن = ف ÷ (م × ع)

ملاحظات عند حساب الفائدة البسيطة

يجب أن تتفق وحدات قياس المدة مع معدل الاستثمار عند حساب الفائدة.

لذلك يجب أن نتذكر أن المعدل غالبًا يكون سنويًا.

وإذا كان معدل الفائدة غير سنوي فإنه يُفضّل تحويله إلى معدل فائدة سنوي.

ويتم التعبير عن المعدل فى صورة نسبة مئوية أو على صورة كسر عشري، كما يلي:

معدل الفائدة 12% سنويًا = 0.12 سنويًا.

المدة غالبًا تكون بالسنوات، لذلك إذا كانت المدة بالشهور فإنه يجب أولا تحويلها إلى السنوات، فإذا كانت المدة محددة بالشهور يتم تحويلها إلى سنوات بالقسمة على العدد 12، أما إذا كانت المدة بالأيام يتم تحويلها إلى سنوات بالقسمة على 360 فى حالة الفائدة التجارية أو بالقسمة على 365 فى حالة الفائدة الصحيحة.

السنة البسيطة هي السنة التي يكون فيها شهر فبراير 28 يومًا. وتكون السنة بسيطة فى حالة إذا تم قسمة السنة على 4 ووُجد أن حاصل القسمة فيه باقي. مثلا، سنة 1990 إذا قُسمت على 4 فإنه يكون هناك باقي، وبالتالي فهي سنة بسيطة، وبذلك فإنه يتم التحويل إلى سنوات بالقسمة على 365 في حالة الفائدة الصحيحة. والسنة الكبيسة هي التي يكون فيها شهر فبراير 29 يومًا. وتكون السنة كبيسة فى حالة إذا تم قسمة السنة على 4 ووُجد أنها تقبل القسمة على 4 بدون باقي. مثلا، سنة 1992 إذا قُسمت على 4 ينتج 498 بدون باقي، أي أنها سنة كبيسة، وبذلك فإنه يتم التحويل إلى سنوات بالقسمة على 366 في حالة الفائدة الصحيحة.

الجمع بين السنة البسيطة والكبيسة

إذا كانت مدة الاستثمار تقع بين سنتين إحداهما بسيطة والأخرى كبيسة فان المدة في هذه الحالة يتم تحويلها إلى سنوات حيث يتم قسمة عدد أيام الاستثمار فى السنة البسيطة على 365 ويتم قسمة عدد أيام الاستثمار فى السنة الكبيسة على 366.

وبالتالي فإذا كانت المدة بالشهور، فإن:

ن = عدد الشهور ÷ 12

وإذا كانت المدة بالأيام، فإن:

ن = عدد الأيام ÷ 360 (في حالة الفائدة التجارية)

ن = عدد الأيام ÷ 365 (في حالة الفائدة الصحيحة والسنة بسيطة)

أو:

ن = عدد الأيام ÷ 366 (في حالة الفائدة الصحيحة والسنة كبيسة)

أمثلة على الفائدة البسيطة

مثال إيجاد مجموع الفائدة البسيطة بنهاية المدة

أودع شخص مبلغ 5000 جنيه في أحد البنوك لمدة سنة وأربعة أشهر، وبمعدل فائدة بسيطة 12% سنويًا. أوجد مقدار الفوائد المستحقة في نهاية المدة؟

الحل

المدة بالشهور = 12 + 4 = 16 شهر

الفائدة ف = المبلغ م × معدل الفائدة ع × المدة بالسنوات ن

إذن:

الفائدة = 5000 × (12 / 100) × (16 / 12)

الفائدة = 800 جنيه

مثال إيجاد معدل الفائدة البسيطة السنوي

أودع شخص مبلغ 5000 جنيه في أحد البنوك لمدة 8 شهور، فوجد أن الفوائد المستحقة له بنهاية المدة هي 400 جنيه. فما هو معدل الفائدة السنوي الذي تم استخدامه؟

الحل

الفائدة ف = المبلغ م × معدل الفائدة ع × المدة بالسنوات ن

إذن:

معدل الفائدة ع = الفائدة ف ÷ (المبلغ م × المدة بالسنوات ن)

أي أن:

معدل الفائدة ع = 400 ÷ (5000 × 8 / 12)

معدل الفائدة ع = 12%

مثال إيجاد مدة الاستثمار بفائدة بسيطة

أودع شخص مبلغ 4000 جنيه في أحد البنوك بمعدل فائدة سنوي 9.5% ولمدة معينة ن، فوجد أن الفوائد المستحقة له بنهاية هذه المدة هي 285 جنيه، فما هي مدة الاستثمار؟

الحل

الفائدة ف = المبلغ م × معدل الفائدة ع × المدة بالسنوات ن

إذن:

المدة بالسنوات ن = الفائدة ف ÷ (المبلغ م × معدل الفائدة ع)

أي أن:

المدة بالسنوات ن = 285 ÷ (4000 × 9.5 / 100)

المدة بالسنوات ن = 3/4 سنة = 9 شهور

جملة مبلغ بفائدة بسيطة

الجملة ھى عبارة عن أصل المبلغ المُستثمر مضافًا إليه الفوائد المستحقة. ويُرمز لها بالرمز (جـ).

ويتم حساب الجملة باستخدام المعادلة التالية:

الجملة = أصل المبلغ المُستثمر + الفائدة المستحقة

أي أن:

جـ = م + ف

وبما أن:

ف = م × ع × ن

إذن، بالتعويض عن قيمة ف ينتح أن:

جـ = م + (م × ع × ن)

أي أن:

جـ = م × (1 + ع × ن)

وتُستخدم المعادلة السابقة فى إيجاد الجملة، كما يمكن من خلالها إيجاد أصل المبلغ (م) كما يلي:

م = جـ ÷ (1 + ع × ن)

مثال على إيجاد الجملة بفائدة بسيطة

أودع شخص مبلغ 4000 جنيه في أحد البنوك لمدة 18 شهرًا بمعدل فائدة 8.5% سنويًا. أوجد جملة المستحق لههذا الشخص في نهاية المدة؟

الحل:

بما أن:

الفائدة ف = م × ع × ن

ف = 4000 × (85÷100) × (18÷12) = 510 جنيه

الجملة جـ = م + ف = 4000 + 510 = 4510 جنيه

حل آخر:

يمكن الحصول على الجملة باستخدام قانون حساب الجملة مباشرة كما يلي:

جـ = م × (1 + ع × ن)

بالتعويض عن القيم:

جـ = 4000 × (1 + (85÷100) × (18÷12))

جـ = 4000 × (1 + 0.1275) = 4000 × 1.1275 = 4510 جنيه

الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة

الفائدة التجارية

إن الفائدة التجارية هي التي تعتبر أن عدد أيام السنة 360 يومًا، ويُرمز لها بالرمز فت ، كما أن الفائدة التجارية هي التي جرى العُرف على استخدامها فى المعاملات المالية.

الفائدة الصحيحة

الفائدة الصحيحة هي التي يكون فيها عدد أيام السنة = 365 يومًا إذا كانت السنة بسيطة، حيث يكون شهر فبراير فيها 28 يومًا. أو أن يكون فيها عدد أيام السنة = 366 يومًا إذا كانت السنة كبيسة حيث يكون شهر فبراير فيها 29 يومًا. ويُرمز للفائدة الصحيحة بالرمز فص.

وبالتالي يوجد فرق بين الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة إذا كانت مدة الاستثمار محسوبة بالشهور أو بالسنوات.

فإذا كانت المدة محسوبة بالأيام أو بالرموز (ي)، فإنه يمكن حساب الفائدتين التجارية والصحيحة باستخدام المعادلتين التاليتين:

ف ت = م × ع × (ي ÷ 360)

ف ص = م × ع × (ي ÷ 365)

ونظرًا لأن المقام في معادلة حساب الفائدة التجارية أقل من المقام في معادلة حساب الفائدة الصحيحة، نستنتج من ذلك بأن الفائدة التجارية أكبر من الفائدة الصحيحة، أي أن:

ف ت > ف ص

العلاقة بين الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة

يمكن استنتاج العلاقة بين الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة كما يلي:

ف ت = م × ع × (ي ÷ 360)

أو:

ف ص = م × ع × (ي ÷ 365)

بقسمة طرفي المعادلتين، ينتج أن:

ف ت / ف ص =(م × ع × (ي ÷ 360)) ÷ (م × ع × (ي ÷ 365))

وبتبسيط البسط والمقام في الطرف الأيسر، ينتج أن:

ف ت = (73 ÷ 72) × ف ص

وتُستخدم هذه العلاقة لإيجاد الفائدة التجارية إذا كانت الفائدة البسيطة معلومة لدينا.

والعكس صحيح، حيث يمكن استنتاج أن:

ف ص = (72 ÷ 73) × ف ت

وتُستخدم هذه العلاقة لإيجاد الفائدة الصحيحة إذا كانت الفائدة التجارية هي المعلومة لدينا.

الفرق بين الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة

يمكن استنتاج الفرق بين الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة، وذلك من خلال المعادلتين المستخدمتين في حسابهما كما يلي:

ف ت = (73 ÷ 72) × ف ص

أو:

ف ص = (72 ÷ 73) × ف ت

بطرح المعادلتين والتعويض عن قيمة فص، ينتج أن:

ف ت – ف ص = (1÷72) × ف ص

أو:

ف ت – ف ص = (1÷73) × ف ت

حساب المدة بين تاريخين

يستلزم الأمر فى العديد من تطبيقات الفائدة البسيطة وخاصة عمليات البنوك ومنها عمليات الإيداع والسحب التي نحتاج فيها إلى حساب المدة التي تقع بين تاريخين.

فإذا افترضنا أن شخصًا له حساب جاري في أحد البنوك، وقام هذا الشخص بإيداع مبلغ ما فى البنك في تاريخ معين، فإن هذا التاريخ يُسمى تاريخ الإيداع، وإذا قام بالسحب من البنك فى تاريخ معين فإن هذا التاريخ يُسمى تاريخ السحب، ولحساب الفوائد المُستحقة لهذا الشخص فإنه يلزم حساب المدة بين تاريخ الإيداع وتاريخ السحب، والمدة تُحسب بعدد الأيام التي تقع بين هذين التاريخين.

كما أن حساب المدة بين تاريخين يمكن أن يتم بأحد الطريقتين التاليتين:

  1. المدة المقربة
  2. والمدة الفعلية

المدة المقربة

يتم حساب المدة المقربة على أساس عدد الأيام لكل شهر من السنة باعتبارها 30 يومًا، وبالتالي فإن السنة 12 شهرًا يكون فيها (30×12) = 360 يومًا.

ولحساب المدة يتم طرح تاريخ الإيداع من تاريخ السحب، فإذا كان المطروح أكبر من المطروح منه فيتم استعارة واحد من الخانة التالية، فإذا تمت الاستعارة من خانة الشهور فيتم إضافة 30 يومًا إلى عدد الأيام الموجودة في خانة المطروح منه. أما إذا تمت الاستعارة من خانة السنوات فيتم إضاف 12 شهرًا إلى عدد الشهور الموجودة في خانة المطروح منه.

المدة الفعلية

يتم حساب المدة الفعلية على أساس عدد الأيام الفعلية لشهور السنة الميلادية.

ويُلاحظ أنه يوجد عدد 7 أشهر في السنة الميلادية تحتوي كل منها على 31 يومًا، وهي (يناير، مارس، مايو، يوليو، أغسطس، أكتوبر أو ديسمبر). كما أنه يوجد 4 أشهر في السنة الميلادية تحتوي كل منها على 30 يومًا، وهي (إبريل، يونيو، سبتمبر، نوفمبر). هذا بالإضافة لشهر فبراير الذي قد يكون 28 يومًا في حالة السنة البسيطة أو 29 يومًا في حالة السنة الكبيسة.

كما يُلاحظ أنه عند حساب المدة بين تاريخين نقوم بإهمال يوم الإيداع أو يوم السحب، وقد جرت العادة على إهمال يوم الإيداع.

وتتم عملية حساب المدة الفعلية بين تاريخين وفقًا للخطوات التالية:

  1. نحسب عدد الأيام المتبقية من الشهر الذي تم فيه الإيداع، وذلك بطرح يوم الإيداع من عدد الأيام الفعلية للشهر الذي تم فيه الإيداع.
  2. يُضاف إلى المدة السابقة جميع الأيام الفعلية في الشهور التي تقع بين شهري الإيداع والسحب.
  3. يُضاف عدد الأيام في الشهر الذي تم فيه السحب، بما فى ذلك يوم السحب نفسه.

ملاحظات على حساب المدة

  1. إذا استلزم الأمر حساب المدة بين تاريخ الإيداع وتاريخ السحب، ولم يُذكر فيما إذا كانت المدة مدة مقرّبة أو فعليّة. ففي هذه الحالة يتم حساب المدة على أنها فعليّة.
  2. إذا كان المطلوب حساب الفائدة والمدة بالأيام ولم يُذكر نوع الفائدة هل هي فائدة تجارية أم صحيحة. ففي هذه الحالة يتم حساب الفائدة التجارية.
  3. وإذا كانت المدة بالأيام ولم تُحدد السنة، فتُعتبر السنة بسيطة وبالتالي يكون عدد أيام السنة 365 يومًا، وبذلك يكون شهر فبراير 28 يومًا.
  4. إذا كان الإيداع في أول شهر معين والسحب فى أول شهر آخر، فإن المدة في هذه الحالة يتم حسابها بالشهور وليس بالأيام. مثلا: إذا كان الإيداع قد تم فى أول شهر مايو لعام 2000 والسحب في أول شهر أكتوبر من نفس العام فإن المدة ن = 5 شهور.
  5. إذا كان الإيداع في منتصف شهر معين والسحب في منتصف شهر آخر، فإن المدة في هذه الحالة يتم حسابها بالشهور وليس بالأيام. مثلا: إذا كان الإيداع قد تم في منتصف شهر مايو لعام 2000 والسحب في منتصف شهر أكتوبر من نفس العام فإن المدة ن = 5 شهور.
  6. وإذا كان يوم الإيداع مطابق يوم السحب، فإن المدة في هذه الحالة يتم حسابها بالشهور وليس بالأيام. مثلا: إذا كان الإيداع قد تم في 22 مايو، 2000، والسحب في 22 أكتوبر 2000، فإن المدة ن = 5 شهور.

أدوات حساب الفائدة والجملة البسيطة والمركبة

يمكن استخدام حاسبة الفائدة البسيطة والمركبة لحساب الفائدة البسيطة والمركبة وجملة المبلغ المستثمر بفائدة بسيطة أو مركبة بنهاية مدة الاستثمار، وكذلك القيمة الحالية للدفعات المؤقتة والدائمة بفائدة مركبة، مع شرح طريقة الاستخدام والمعادلات الرياضية التي تستند إليها كل الحسابات، وهي من تصميم مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات.

لقراءة موضوع أدوات حاسبة مخصصة يمكن زيارة الرابط التالي: أدوات حاسبة مخصصة – مركز البحوث والدراسات

مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات

المراجع

  • كتاب الرياضة المالية، دكتور يحيى موسى حسين الجبالي، دكتور محمد إبراهيم خليل، 2011م.
  • كتاب محاضرات في الرياضيات المالية، إعداد: د. م. مصطفى عبيد، 2000م.
الفائدة البسيطة وجملة مبلغ بفائدة بسيطة
الفائدة البسيطة وجملة مبلغ بفائدة بسيطة